limit

[-[B]a$ic'z~*]

ช่วยทำโจทย์ข้อนี้ทีครับ

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n} - \sqrt{n}$$

แล้วก็

$$\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^2+2} - n \,\right)$$

[Hirokana]

2 ข้อนี้ใช้แนวทางคล้ายกันเลยครับ ลอง conjugate ดูแล้วก็หาลิมิตแบบปกติของ เศษส่วนพหุนามหารกัน

พอเป็นแนวทางสั้นๆนะครับ ถ้าไม่ได้จริงๆค่อยว่ากัน

[-[B]a$ic'z~*]

ลองแล้วมันไม่หลุดอะครับ ช่วยทำให้ดูทีครับ

[Real Matrik]

ข้อ 1

ให้ $k^6=n$ เพื่อให้ง่ายต่อการมอง

$$\sqrt[3]{n} - \sqrt{n}=k^2-k^3$$
$$=k^2(1-k)$$
$$=-k^2(k-1)$$

เห็นได้ชัดว่า ถ้า $n$ เข้าใกล้อนันต์ $k$ จะเข้าใกล้อนันต์ด้วย
นั่นคือ $k^2(k-1)$ เข้าใกล้อนันต์ หรือ $-k^2(k-1)$ เข้าใกล้ลบอนันต์

ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n} - \sqrt{n}$ คือ $-\infty$

ข้อ 2

$$n(\sqrt{n^2+2}-n)$$
$$=n(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n})$$
$$=\frac{2}{\sqrt{\frac{n^2+2}{n^2}}+1}$$
$$=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1}$$
$$\lim_{n \to \infty}n(\sqrt{n^2+2}-n)=1$$

ปล. ผู้รู้ช่วยเช็คด้วยนะครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

ข้อ 1

ให้ $k=\sqrt[3]{n}$ เพื่อให้ง่ายต่อการมอง

$$\sqrt[3]{n} - \sqrt{n}=k-k^3$$
$$=k(1-k^2)$$
$$=k(1-k)(1+k)$$
$$=-k(k-1)(k+1)$$

เห็นได้ชัดว่า ถ้า $n$ เข้าใกล้อนันต์ k จะเข้าใกล้อนันต์ด้วย
นั่นคือ $k(k-1)(k+1)$ เข้าใกล้อนันต์ หรือ $-k(k-1)(k+1)$ เข้าใกล้ลบอนันต์

ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n} - \sqrt{n}$ คือ $-\infty$

น่าจะเป็น $k - k^{\frac{3}{2}}$

ดังนั้นน่าจะกำหนด $k = \sqrt[6]{n}$ จะได้เป็น $k^2 - k^3$

[Real Matrik]

#5 รบกวนแสดงให้ดูด้วยครับ
#6 แก้แล้วครับ

[-[B]a$ic'z~*]

ขอยืมทดหน่อยเน้อ

$$3\sum_{n = 1}^{m} 4^i = 3 [ 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + ... +4^m ] = 3\left[\frac{4(4^m -1)}{4-3} \,\right] = 4^m+1 -4$$

ขอบคุณทุกๆ คนมากเลยครับ