พท. สี่เหลี่ยมเเนบในวงกลม

[Arsene Lupin]

คือผมกำลังคิดๆ โจทย์ข้อนี้อยู่อ่ะครับ
โจทย์ วงกลม รัศมี $\frac{\sqrt{2}}{2}$ จงพิสูจน์ว่าพท . ของสี่เหลี่ยมเเนบในวงกลมที่มากที่สุดคือ 1
ผมคิดไปคิดมาได้วิธีนึงเเต่ว่าไม่ค่อยดีเท่าไหร่เพราะ ใช้ ตรีโกณ จึงอยากทราบว่ามีวิธีที่ดีกว่านี้มั้ยครับ
ปล. ผมอัด บรามากุปตา เเละam-gm เเล้ว เหลือต้องพิสูจน์ว่า $4\geqslant a+b+c+d$ ซึ่งผมไปต่อไม่ถูกอ่ะครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ให้วงกลมนั่น คือ ABCD จุด center $O_R$ รัศมี R ละกันนะครับ โดยมุม $A\hat {O} B= A_1$ นิยามในมุมอื่นๆ $A_2,A_3,A_4$ นะครับ

$\displaystyle [ABCD] = \dfrac{1}{2} R^2 \left(\,\sum_{i=1}^{4} \sin \hat{A_i}\right) $

จาก $\sin \theta \leq 1$ เพราะฉะนั้น

$\displaystyle [ABCD] = \dfrac{1}{2} R^2 \left(\,\sum_{i=1}^{4} \sin \hat{A_i}\right) \leq \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \left(\,1+1+1+1\right) =1$

อสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $A_1=A_2=A_3=A_4=90^{\circ}$

[Arsene Lupin]

ขอบคุณมากๆครับ คุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ให้วงกลมนั่น คือ ABCD จุด center $O_R$ รัศมี R ละกันนะครับ โดยมุม $A\hat {O} B= A_1$ นิยามในมุมอื่นๆ $A_2,A_3,A_4$ นะครับ

$\displaystyle [ABCD] = \dfrac{1}{2} R^2 \left(\,\sum_{i=1}^{4} \sin \hat{A_i}\right) $

จาก $\sin \theta \leq 1$ เพราะฉะนั้น

$\displaystyle [ABCD] = \dfrac{1}{2} R^2 \left(\,\sum_{i=1}^{4} \sin \hat{A_i}\right) \leq \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \left(\,1+1+1+1\right) =1$

อสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $A_1=A_2=A_3=A_4=90^{\circ}$

$A_1+A_2+A_3+A_4=360^{\circ}$ นะครับ แล้วก่อนอื่นเราจะรู้ได้ยังไงล่ะครับว่าค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อทุกอันเป็น $90^{\circ}$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ก็หาค่าสูงสุดของ $\sin A_i$ แต่ละ i อ่ะครับ

เพราะค่าสูงสุดของฟังก์ชัน sin คือ 1 และเกิดเมื่อ มุมเท่ากับ 90 ไม่ใช่หรอครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

ก็หาค่าสูงสุดของ $\sin A_i$ แต่ละ i อ่ะครับ

เพราะค่าสูงสุดของฟังก์ชัน sin คือ 1 และเกิดเมื่อ มุมเท่ากับ 90 ไม่ใช่หรอครับ

ที่คุณarttyบอกคือทุกก้อนครับ ไม่ใช่แยกคิดเป็นก้อน$\sin A_i$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

มันไม่ได้หรอครับ

ค่าสูงสุดที่น่าจะเป็นไปได้ ของ $\sin A_1+\sin A_2+\sin A_3+\sin_4$ คือ 4

ที่นี้ก็เป็นหน้าที่ของเราว่ามันไปสอดคล้องกับโจทย์หรือเปล่าไม่ใช่หรอครับ

ถ้ายังไม่ได้ก็ลองใช้เอกลักษณ์นี้ดู $\sin A+\sin B=2\sin\left(\,\dfrac{A+B}{2}\right) \cos\left(\,\dfrac{A-B}{2}\right) $

[Euler-Fermat]

พิจารณา จาก Jensen Inequality ดูครับ