lim n/ln(n+1)!

[B บ ....]

The following limit converge or diverge
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\ln(1+x)!}$$
ช่วย hint หน่อยครับ มันลู่เข้ารึออก

[gools]

ถ้า $x \geq 4$ แล้ว $\ln (x/2) \geq \frac{1}{2}\ln (x)$ นอกจากนั้น $\ln (y) \geq \frac{1}{2}\ln (x)$ ทุกๆ $y\geq x/2$ ดังนั้นตัวข้างล่างจะมีค่ามากกว่า $\frac{x}{2}\ln(x)$

เป็นวิธีคิดแบบคร่าวๆนะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

The following limit converge or diverge
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\ln(1+x)!}$$
ช่วย hint หน่อยครับ มันลู่เข้ารึออก

x ในที่นี้ คือ n ใช่มั้ยครับ

ถ้าใช่ ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $ \int_1^{n+1} \ln x \,\, dx \leq \sum_{i=2}^{n+1} \ln i $ (เช็คจากพื้นที่ใต้กราฟได้ครับ)

ดังนั้น $ \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=2}^{n+1} \ln i \geq \frac{1}{n} \cdot \int_1^{n+1} \ln x \,\, dx \Rightarrow LHS \geq \frac{(n+1)\ln(n+1)- (n+1)}{n}$

สรุปได้ว่า $$ 0 < \frac{n}{\ln(n+1)!} \leq \frac{n}{(n+1)\ln(n+1)- (n+1)}$$

ขวาสุด take limit ได้เข้าใกล้ 0 ครับ และใช้ squeezing theorem บีบตรงกลาง converge สู่ 0

[B บ ....]

ขอบคุณมากครับ ^^
มีอีกข้อนึง คือ มันไม่เชิงติด แต่ก็ไม่รู้จะทำยังไงดี
Let $f$ be a continuous function on $[0,1]$ $$f(\frac{m}{2^n})=0 \ \mbox{for all}\ m,n \in \mathbb{N} \ \mbox{and} 0 \leq m \leq 2^n.$$ Prove that $f(x) = 0 $ on $[0,1].$
พิสูจน์ สำหรับแต่ละ $x \in [0,1]$ ให้ $\epsilon \in \mathbb{R}^+$ จากความต่อเนื่องของ $f$ บน [0,1] ถ้าแต่ละ $\delta > 0$ มี $m,n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $\frac{m}{2^n} \in (x-\delta,x+\delta)$ แล้วจะได้ว่า $|f(x)| < \epsilon$
แต่ไม่รู้จะแสดงยังไงตรง มี $m,n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $\frac{m}{2^n} \in (x-\delta,x+\delta)$ ทุก $\delta > 0$ จริงๆเหมือนเงื่อนไข ทุก$\delta >0$ มันแรงไป แต่โดยความต่อเนื่องไม่รู้ว่า แต่ละ $\delta_0$ ที่คู่ $\epsilon_0$ มันใหญ่ขนาดไหน เฮ้อ งงครับ

[gools]

สังเกตว่าทุกๆ $n\in \mathbb{Z}^+$, $x\in [\frac{m}{2^n},\frac{m+1}{2^n}]$ สำหรับบางจำนวน $m$ ครับ