need help! a problem in complex analysis

[milch]

Let $f:\{z\in \mathbb{C}\mid \left|z\right| \leqslant 2\}\rightarrow \mathbb{C}$ be analytic and $f(z)\in \mathbb{R} $ if $\left|z\right|=1$.
Show that $f$ is a constant function on $\{z\in \mathbb{C}\mid \left|z\right| \leqslant 1\}$.

thx for advice.

[milch]

It can be shown that $f$ is real constant on $C_1(0)$, says $f\equiv M\in \mathbb{R}$.
Let $w\in D(0,1)$. By Cauchy integral formula, we have

$f(w)=\frac{1}{2\pi i} \oint_{C_1(0)}\frac{f(z)}{z-w}dz=\frac{1}{2\pi i} \oint_{C_1(0)}\frac{M}{z-w}dz=M$.

Therefore, we are done.

anything wrong?

[nooonuii]

ถ้างั้นก็จบแล้วนี่ครับ

[milch]

ขอบคุณครับ งงตรงที่ไม่ได้ใช้ประโยชน์อะไรจากโดนเมนของ f ก็เลยไม่แน่ใจว่าถูกรึป่าว
ถ้างั้นโจทย์จะกำหนดโดเมนเป็นเซตเปิดอะไรก็ได้ที่คลุม D[0,1]?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ milch

ขอบคุณครับ งงตรงที่ไม่ได้ใช้ประโยชน์อะไรจากโดนเมนของ f ก็เลยไม่แน่ใจว่าถูกรึป่าว
ถ้างั้นโจทย์จะกำหนดโดเมนเป็นเซตเปิดอะไรก็ได้ที่คลุม D[0,1]?

เข้าใจถูกแล้วครับ ทำโดเมนให้ใหญ่กว่า unit disk

เพื่อให้เราใช้ Cauchy's integral formula ได้อย่างไม่ตะขิดตะขวงใจครับ