ช่วยข้อนี้หน่อยครับ

[LightLucifer]

Prove that for every positive integer $a>1$ there exist infinitely many positive integers $n$ such that $n|a^n+1$

[ง่วงนอน]

ฟังค์ชั่น ฟี-ออยเลอร์ ก็น่าจะออกนะคับ

[Amankris]

จขกท. ได้ Soln ยัง

[Keehlzver]

อยากได้เฉลยเต็มๆเหมือนกันครับ

ว่าเเต่คุณ Amankris ถ้าผมเอาโจทย์จากเก่าๆจากค่ายมารบกวนช่วยเฉลยให้ได้ไหมครับ เพราะนับถอยหลังวันสอบเข้ามาทุกทีๆ

[Amankris]

#4

ผมไม่ได้เก่งขนาดนั้นหรอกนะครับ >_<

คงทำได้เฉพาะข้อง่ายๆแหละครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

Prove that for every positive integer $a>1$ there exist infinitely many positive integers $n$ such that $n|a^n+1$

Outline:

กรณี a เป็นเลขคู่ ง่ายมากครับ

แค่ take $n_1 =1$ และ $ n_{i+1}= a^{n_i}+1$

มันจะยาก กรณีเลขคี่ครับ ซึ่งอาจต้องแบ่งเป็น

กรณีที่ 1 คือ $a+1 = 2^t \cdot M $ โดย M เป็นเลขคี่ > 1

โดย take $n_1 =1 $ และ $n_{i+1} = \frac{a^n_i+1}{2^t}$

พิสูจน์ให้ได้ว่า $n_i $ เป็นเลขคี่ทั้งหมด โดย Induction และใช้ fact ที่ว่า $n_i | n_{i+1}$ เพื่อพิสูจน์ว่า $ n_i$ ที่สร้างขึ้นมา works for all i

กรณีที่ 2 คือ $a+1 = 2^t \Rightarrow a^2+1 = 2^m \cdot b $ สำหรับเลขคี่ b>1

อ้าง กรณี 1 ช่วย โดย apply กับ $a^2$
จากนั้น take $N_i = 2n_i$

[LightLucifer]

เพิ่งจะเข้ามาเห็น =="
ขอโทษนะครับที่ตอบช้า
ขอบคุณสำหรับทุก post ครับ

[LightLucifer]

ช่วยช้อนี้หน่อยครับ
Find all non-negative inter solutions to $4ab-a-b=c^2$

[หยินหยาง]

มันเป็นโจทย์ IMO 1984 (proposal) นี่ครับ เพียงแต่แทนที่จะพิสูจน์ก็เป็นการหาค่า ซึ่งคำตอบที่ได้คือ $(a,b,c)=(0,0,0)$
โดยเริ่มต้นจาก
$(4a-1)(4b-1) =4c^2+1$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มันเป็นโจทย์ IMO 1984 (proposal) นี่ครับ เพียงแต่แทนที่จะพิสูจน์ก็เป็นการหาค่า ซึ่งคำตอบที่ได้คือ $(a,b,c)=(0,0,0)$
โดยเริ่มต้นจาก
$(4a-1)(4b-1) =4c^2+1$

จะได้ว่ามันไม่มี...ใช่ไหมครับ

[หยินหยาง]

#10
That's right.

[LightLucifer]

ขอบคุณมากครับ นึกไม่ถึงเลยว่าจะต้องใช้วิธีนี้ ^^