principle of mathematics

[PURE MATH]

1. ให้ $X$ เป็นเซตซึ่งสมาชิก $n\geqslant 2$ ตัว ให้ $C$ เป็นเซตของสับเซตของ $X$ ซึ่งมีสมบัติว่าแต่ละสับเซตแท้ $A$ ของ $X$ มีเซตใน $C$ เป็นจำนวนคู่เซตซึ่งตัดกับ $A$ แล้วไม่เป็นเซตว่าง จงพิสูจน์ว่า $C=P(X)$ หรือ $C=P(X)-\left\{\,\varnothing \right\} $ โดยที่ $P(X)$ หมายถึงเซตของสับเซตทั้งหมดของ $X$
2. จงแสดงว่า เราสามรถเขียนจำนวนนับ $n$ ใดๆ ได้ในรูป $2^km$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนคี่และ $k$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $k\geqslant 0$
3. จงแสดงว่าจำนวนเต็มซึ่งประกอบด้วยเลขตัวเดียวกันจำนวน $3^n$ หลักย่อมหารด้วย $3^n$ ลงตัว (เช่น $555$ หารลงตัวด้วย $3$ และ $222,222,222$ หารลงตัวด้วย $9$)

ช่วยหน่อยนะครับ = = ไม่รู้จะเริ่มอย่างไรเลย

[gools]

การบ้านหรือเปล่าครับนี่

[gools]

ยังไงก็ลองเริ่มดูสักข้อแล้วติดตรงไหนก็บอกแล้วกันนะครับ

[PURE MATH]

แบบฝึกในหนังสือ หลักคณิตศาสตร์ อ้ะครับ แต่ผมไม่รู้จะเริ่มยังไงเลย

[gools]

ในข้อ 1 นี่ "จำนวนคู่เซต" คืออะไรเหรอครับ
ข้อ 2 ลองพิสูจน์หาข้อขัดแย้งนะครับ ถ้า $n=2^kn_k$ ทุกๆจำนวนนับ $k$ และบางจำนวนเต็มบวก $n_k$ แล้วจะเกิดอะไรขึ้น
ข้อ 3 น่าจะใช้ induction นะครับ ให้ $K=aaa\ldots$ เป็นจำนวนที่มีเลขซ้ำ $3^n$ หลัก แล้วเราจะหาจำนวนที่มีเลขซ้ำ $aaa\ldots$ $3^{n+1}$ หลักในเทอมของ $K$ ได้อย่างไร ลองพิจารณา $10^mK$ สำหรับบางจำนวนนับ $m$ ที่เหมาะสม ถ้ามีปัญหาให้ลองเริ่่มจากหลักน้อยอย่างเช่น 1 หลักไปสามหลักแลวสามหลักไปเก้าหลัก