Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 06 กรกฎาคม 2016, 19:47
ynihcrap ynihcrap ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 กรกฎาคม 2016
ข้อความ: 4
ynihcrap is on a distinguished road
Default AMO 2015

รบกวนขอวิธีทำข้อ 11, 17และ19 ครับ
http://www.mediafire.com/view/dfpa5b...56278989_n.jpg

http://www.mediafire.com/view/y5qmha...95967103_n.jpg

http://www.mediafire.com/view/x0d12f...16105359_n.jpg
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 กรกฎาคม 2016, 18:11
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default

19. How many 4-digit numbers bigger than 2015 satisfies the following condition:
The number is even , All the digits in the number are different.

เพราะว่า จำนวนที่ต้องการคือจำนวนคู่ ดังนั้น หลักหน่วยจะต้องเป็น 0,2,4,6,8
กรณี 1 หลักพันคือ 3,5,7,9 (4 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ 0,2,4,6,8 (5 วิธี) ดังนั้นจะเหลือ ตัวเลขให้ใส่หลักร้อยและหลักสิบ 10-2=8 จำนวน นั่นคือเลือกหลักร้อยได้ (8 วิธี) หลักสิบได้ (7 วิธี)
ดังนั้น กรณีนี้มี 4x5x8x7= 1120 จำนวน
กรณี 2 หลักพันคือ 4,6,8 (3 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (4 วิธี) เพราะหลักพันเลือกเลขคู่ไปแล้ว 1 ดังนั้นจะเหลือ ตัวเลขให้ใส่หลักร้อยและหลักสิบ 10-2=8 จำนวน นั่นคือเลือกหลักร้อยได้ (8 วิธี) หลักสิบได้ (7 วิธี)
ดังนั้น กรณีนี้มี 3x4x8x7= 672 จำนวน
กรณี 3 หลักพันคือ 2
กรณี 3.1 หลักร้อยคือ 1,3,5,7,9 (5 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (4 วิธี) เพราะหลักพันเลือกเลขคู่ไปแล้ว 1 ดังนั้นเหลือ เลขใส่หลักสิบ 7 ตัว (7 วิธี)
ดังนั้นกรณีนี้มี 5x4x7=140 จำนวน
กรณี 3.2 หลักร้อยคือ 4,6,8 (3 วิธี) เพราะหลักพันคือ 2 เลือกไม่ได้อีก [และกรณีเลขหลักร้อยเป็น 0 จะแยกเป็นกรณีที่ 3.3] และสามารถเลือกหลักหน่วยได้ (3 วิธี) เพราะหลักพันและหลักร้อยเลือกเลขคู่ไปแล้ว 2 ดังนั้นเหลือ เลขใส่หลักสิบ 7 ตัว (7 วิธี)
ดังนั้นกรณีนี้มี 3x3x7=63 จำนวน
กรณี 3.3 หลักร้อยคือ 0 [เพราะว่าจำนวนต้องมีค่ามากกว่า 2015]
กรณี 3.3.1 หลักสิบคือ 1 มี 2016 2018 มี 2 จำนวน
กรณี 3.3.2 หลักสิบคือ 3,5,7,9 (4 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ 4,6,8 (3 วิธี) มี 4x3=12 จำนวน
กรณี 3.3.3 หลักสิบคือ 4,6,8 (3 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (2 วิธี) [เพราะหลักพัน ร้อย สิบ เป็นเลขคู่เลือกไปแล้ว 3 เหลือ 2] มี 3x2=6 จำนวน
ดังนั้น กรณีนี้มี 2+12+6=20 จำนวน

รวมทั้ง 3 กรณีแล้ว ได้ทั้งหมด 1120+672+140+63+20=2015 จำนวน

11 กรกฎาคม 2016 19:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ <KAB555>
เหตุผล: แก้ไขวิธีทำ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 กรกฎาคม 2016, 18:59
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default

11. how many ways can we choose 3 different numbers from 1-20 such that their sun is equal to 30

จากโจทย์ ให้สามจำนวนเต็มนั้นคือ x,y,z $1\leqslant x< y< z\leqslant 20$ และ $x+y+z=30$
ลองแบ่งๆจำนวนดูก็พบว่า
ถ้า x=1 ; จะเลือก y=2-14 , z=15-27 ได้ 13 วิธี
ถ้า x=2 ; จะเลือก y=3-13 , z=15-25 ได้ 11 วิธี
ถ้า x=3 ; จะเลือก y=4-13 , z=14-23 ได้ 10 วิธี
ถ้า x=4 ; จะเลือก y=5-12 , z=14-21 ได้ 8 วิธี
ถ้า x=5 ; จะเลือก y=6-12 , z=13-19 ได้ 7 วิธี
ถ้า x=6 ; จะเลือก y=7-11 , z=13-17 ได้ 5 วิธี
ถ้า x=7 ; จะเลือก y=8-11 , z=12-15 ได้ 4 วิธี
ถ้า x=8 ; จะเลือก y=9-10 , z=12-13 ได้ 2 วิธี
ถ้า x=9 ; จะเลือก y=10 , z=11 ได้ 1 วิธี
ตัดกรณีที่ x,y,z มากกว่า 20 ออกจะเหลือ
ถ้า x=1 ; จะเลือก y=9-14 , z=15-20 ได้ 6 วิธี
ถ้า x=2 ; จะเลือก y=8-13 , z=15-20 ได้ 6 วิธี
ถ้า x=3 ; จะเลือก y=7-13 , z=14-20 ได้ 7 วิธี
ถ้า x=4 ; จะเลือก y=6-12 , z=14-20 ได้ 7 วิธี
ถ้า x=5 ; จะเลือก y=6-12 , z=13-19 ได้ 7 วิธี
ถ้า x=6 ; จะเลือก y=7-11 , z=13-17 ได้ 5 วิธี
ถ้า x=7 ; จะเลือก y=8-11 , z=12-15 ได้ 4 วิธี
ถ้า x=8 ; จะเลือก y=9-10 , z=12-13 ได้ 2 วิธี
ถ้า x=9 ; จะเลือก y=10 , z=11 ได้ 1 วิธี
จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกเท่ากับ 6+6+7+7+7+5+4+2+1=45 วิธี

07 กรกฎาคม 2016 18:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ <KAB555>
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 07 กรกฎาคม 2016, 19:48
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default


ต้องการความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยม จะต้องทราบ AP ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม
เพราะว่า AO แบ่งครึ่ง BAC ดังนั้น PAO=30 องศา และเพราะว่า APO=90 องศา ดังนั้น
$tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3} }=\frac{PO}{AP} $
เพราะว่า PO =1 จะได้ $AP=\sqrt{3} $
ดังนั้นความยาวรอบรูป $= 3(2r+2AP)=3(2(1)+2\sqrt{3} )=6+6\sqrt{3} $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 10 กรกฎาคม 2016, 21:30
ynihcrap ynihcrap ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 กรกฎาคม 2016
ข้อความ: 4
ynihcrap is on a distinguished road
Default

ผมได้แบบนี้ครับ






ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 10 กรกฎาคม 2016, 21:38
ynihcrap ynihcrap ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 กรกฎาคม 2016
ข้อความ: 4
ynihcrap is on a distinguished road
Default

ต่อมาอีก 3 ข้อครับ



ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 16 กรกฎาคม 2016, 16:59
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default

22. If a>b>0 and $(a-b)(a^2-3b-1)$ is a prime, find the value of a and b

เพราะว่า $(a-b)(a^2-3b-1)$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น

กรณี 1 $a-b=1$ และ $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$
จาก a-b=1 จะได้ a=b+1 ทำให้ $a^2-3b-1=(b+1)^2-3b-1=b^2+2b+1-3b-1=b^2-b=b(b-1)$
เพราะว่า $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$ ดังนั้น b(b-1) เป็นจำนวนเฉพาะด้วย นั่นคือ b หรือ b-1 เท่ากับ 1
ถ้า b=1 จะได้ b-1=0 ซึ่งทำให้ b(b-1)=0 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ถ้า b-1=1 จะได้ b=2 ซึ่งทำให้ b(b-1)=2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ และจะได้ว่า a=3
ดังนั้น a=3 b=2

กรณี 2 $a^2-3b-1=1$ และ $a-b=จำนวนเฉพาะ$
จาก $a^2-3b-1=1$ จะได้ $a^2-3b=2\Rightarrow 3b=a^2-2\Rightarrow b=\frac{a^2-2}{3} $
จะได้ $a-b=a-\frac{a^2-2}{3}=\frac{-a^2+3a+2}{3}$
เพราะว่า a>b ดังนั้น $a-b=\frac{-a^2+3a+2}{3}>0$
เพราะว่า $\frac{-a^2+3a+2}{3}=-\frac{1}{3}(a-\frac{3}{2} )^2-\frac{17}{4} <0 $
ดังนั้นไม่มีจำนวนที่สอดคล้อง

ตอบ a=3 b=2 เพียงกรณีเดียว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 16 กรกฎาคม 2016, 17:25
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default



จากรูป (5sqrt2=$5\sqrt{2} $ และ 3sqrt2=$3\sqrt{2} $)

เมื่อลากเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางมาที่ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะตั้งฉากกันพอดี
จาก ทบ.พีทาโกรัสจะได้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมยาว $3\sqrt{2} $ และ $5\sqrt{2} $
รวมแล้วได้เส้นทแยงมุมยาว $8+8\sqrt{2}$
ให้ m คือความยาวด้านของสี่เหลี่ยม
$m^2=\frac{(8+8\sqrt{2})^2}{2} $ ตามสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยม
จะได้ $m=\frac{8+8\sqrt{2}}{\sqrt{2} }=8+4\sqrt{2} $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 16 กรกฎาคม 2016, 18:06
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default



กำหนดจุด P และ Q
$\frac{พื้นที่ \Delta GHC}{พื้นที่ \Delta ABC} =\frac{GC^2}{AC^2}=\frac{4^2}{5^2} =\frac{16}{25} $
$\frac{พื้นที่ \Delta GQE}{พื้นที่ \Delta GHC} =\frac{GQ^2}{GH^2}=\frac{2^2}{4^2} =\frac{4}{16}$
$\frac{พื้นที่ \Delta PHF}{พื้นที่ \Delta GHC} =\frac{HF^2}{HC^2}=\frac{1^2}{4^2} =\frac{1}{16}$

$\therefore พื้นที่แรเงา = \Delta GHC-\Delta GQE-\Delta PHF=16-4-1=11$=44%
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 16 กรกฎาคม 2016, 18:07
<KAB555> <KAB555> ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 กันยายน 2013
ข้อความ: 128
<KAB555> is on a distinguished road
Default

ไม่ทราบว่าข้อสอบนี้จากการแข่งขันอะไรคะ มีข้อสอบฉบับเต็มรึเปล่าคะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 23 กรกฎาคม 2016, 08:06
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555> View Post
ไม่ทราบว่าข้อสอบนี้จากการแข่งขันอะไรคะ มีข้อสอบฉบับเต็มรึเปล่าคะ
ชื่อหัวข้อกระทู้ควรเป็น ASMO 2015

โจทย์ข้อ 21. มีพิมพ์ผิด is perpendicular to แก้เป็น is parallel to (แต่รูปถูกต้อง)


Link ข้อสอบเก่าพร้อมเฉลย ดูที่นี่ค่ะ

http://asmo2u.com/masmo-math/asmo-20...year-questions
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ imso 2015 + คำตอบ gon ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 21 30 มิถุนายน 2016 15:10
ข้อสอบ ITMO 2015 (ทีม + บุคคล +เฉลยละเอียด) gon ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 1 24 มีนาคม 2016 14:32
SMO 2015 math ninja ข้อสอบโอลิมปิก 2 06 กุมภาพันธ์ 2016 20:03
ผลการแข่งขัน CIMC 2015 ที่ประเทศจีน ระหว่างวันที่ 27 กค - 1 สค ด้วยครับ KIN ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย 1 04 สิงหาคม 2015 20:26
ไทยเป็นเจ้าภาพ IMO ปี 2015 ครับผม!! ~ArT_Ty~ ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 1 03 สิงหาคม 2011 19:30

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:19


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha