Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 05 มกราคม 2017, 00:09
kzki111 kzki111 ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 04 มกราคม 2017
ข้อความ: 12
kzki111 is on a distinguished road
Default สมการไดโอแฟนไทน์

จงแสดงว่าสมการ
$\frac{1}{X^4}$-$\frac{1}{Y^4} $ =$\frac{1}{Z^4} $
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 05 มกราคม 2017, 20:29
MathBlood's MathBlood's ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กันยายน 2015
ข้อความ: 34
MathBlood's is on a distinguished road
Default

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
$ x^4+y^4 = k^2 $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 14 มกราคม 2017, 12:51
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kzki111 View Post
จงแสดงว่าสมการ
$\frac{1}{X^4}$-$\frac{1}{Y^4} $ =$\frac{1}{Z^4} $
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก
ทำได้หรือยัง ข้อนี้ไม่ยากครับ

ปล. ใช้ contradiction เขียน formal proof ก็ได้นะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 15 มกราคม 2017, 21:02
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ไหนๆก็เข้ามาแล้ว ...

Lemma $x^2=y^4+z^4$ ไม่มี integers solution

ให้ $S$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}=\frac{1}{z^4}$

ให้ $T$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^2=y^4+z^4$

จาก Lemma จะได้ว่า $T$ เป็นเซตว่าง

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $S$ เป็นเซตว่างด้วย

สมมติให้ $S$ ไม่เป็นเซตว่าง ดังนั้นจะมี $(x_{0},y_{0},z_{0}) \in S$

ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{1}{x_{0}^4}-\frac{1}{y_{0}^4}=\frac{1}{z_{0}^4}$

จัดรูปเป็น $(y_{0}^2z_{0}^2)^2=(z_{0}x_{0})^4+(x_{0}y_{0})^4$ ---(*)

ให้ $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$

เพราะว่า $x_{0},y_{0},z_{0}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มด้วย

และจาก (*) จะได้ว่า $a^2=b^4+c^4$ มี $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$ เป็นคำตอบ

ดังนั้น $(a,b,c) \in T$ ขัดแย้งกับการที่ $T$ เป็นเซตว่าง ดังนั้น $S$ เป็นเซตว่าง ...QED...

ปล. Proof ของ Lemma google ได้นะครับ ใช้คำว่า infinite descent
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 16 มกราคม 2017, 19:54
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
ไหนๆก็เข้ามาแล้ว ...

Lemma $x^2=y^4+z^4$ ไม่มี integers solution

ให้ $S$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}=\frac{1}{z^4}$

ให้ $T$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^2=y^4+z^4$

จาก Lemma จะได้ว่า $T$ เป็นเซตว่าง

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $S$ เป็นเซตว่างด้วย

สมมติให้ $S$ ไม่เป็นเซตว่าง ดังนั้นจะมี $(x_{0},y_{0},z_{0}) \in S$

ดังนั้นจะได้ว่า $\frac{1}{x_{0}^4}-\frac{1}{y_{0}^4}=\frac{1}{z_{0}^4}$

จัดรูปเป็น $(y_{0}^2z_{0}^2)^2=(z_{0}x_{0})^4+(x_{0}y_{0})^4$ ---(*)

ให้ $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$

เพราะว่า $x_{0},y_{0},z_{0}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มด้วย

และจาก (*) จะได้ว่า $a^2=b^4+c^4$ มี $(a,b,c)=(y_{0}^2z_{0}^2,z_{0}x_{0},x_{0}y_{0})$ เป็นคำตอบ

ดังนั้น $(a,b,c) \in T$ ขัดแย้งกับการที่ $T$ เป็นเซตว่าง ดังนั้น $S$ เป็นเซตว่าง ...QED...

ปล. Proof ของ Lemma google ได้นะครับ ใช้คำว่า infinite descent
ยาวจังครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:39


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha