Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 14 ตุลาคม 2004, 12:02
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Icon15

โอ้. What 's happen.?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 15 ตุลาคม 2004, 08:45
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

สองบรรทัดสุดท้ายในพิสูจน์ของพี่ gon ยังสรุปไม่ได้อ่ะครับ เพราะว่าเครื่องหมายมันกลับข้างกันอยู่
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 15 ตุลาคม 2004, 08:48
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

เอ่อ...ถามหน่อยครับ

ใครมีพิสูจน์อสมการนี้แบบสวยๆโดยไม่ต้องแยกกรณีบ้างครับ

|a + b| + |b + c| + |c + a| |a| + |b| + |c| + |a + b + c| เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 15 ตุลาคม 2004, 14:28
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ทำไม่ได้อ่ะครับ
ยังมีอีก 3 ข้อที่ผมทำไม่ได้สักที
จงพิสูจน์ว่า
1. (n+1)(n-1)/2 < n!
2. n[(n+1)1/n-1] < 1+1/2+1/3+...+1/n < n-(n-1)n-1/(n-1)
3. ให้ a1, a2, a3,..., an > 0 และ S=a1+a2+a3+...+an จงแสดงว่า (1+a)(1+a)...(1+a) 1+S+S2/2!+S3/3!...+Sn/n!

สามข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดในเรื่อง AM-GM-HM Inequalities ครับ

15 ตุลาคม 2004 23:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 17 ตุลาคม 2004, 03:50
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

Hint สามข้อที่น้อง Gools ถามมาครับ

1) ใช้ A.M. - G.M. กับ 1 / 1 2 , 1 / 2 3 , ... , 1 / n(n+1) , 1 / (n + 1) 1

2) 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n + n = (1 + 1) + (1 + 1 / 2) + (1 + 1 / 3) + ... + (1 + 1 / n)
n - (1 + 1 / 2 + ... + 1 / n) = (1 - 1) + (1 - 1 / 2) + ... + (1 - 1 / n)

3) ข้อนี้เป็นโจทย์ APMO'1989 สามารถไปดูเฉลยได้ที่นี่ครับ http://www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol891.html
แต่อันนี้เขาใช้ induction ส่วนข้างล่างเป็นวิธีคิดของพี่ซึ่งใช้ A.M. - G.M. ครับ
ให้ A = ( a 1 + ... + an) / n
โดยใช้ A.M. - G.M. จะได้ว่า LHS (1 + A)n
จากนั้นก็กระจาย (1 + A)n โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
แล้วพิสูจน์ว่า C(n,k) Ak Sk / k! ทุกค่า k = 1 , ... , n
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 17 ตุลาคม 2004, 12:22
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ขอบคุณมากๆๆๆๆๆๆๆเลยครับ
ก็คงจะถามต่อไปเรื่อยๆ
ผมไม่เข้าใจคำถามที่กำหนดให้ xi>0 สำหรับ i=1,2,3...,n
และให้ y1, y2...,yn เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ x1, x2,...,xn อ่ะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 18 ตุลาคม 2004, 04:40
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ถามมาก็คือผลจากการสลับตัวแปรชุดเดิมให้กลายเป็นชุดใหม่ครับ เช่น สมมุติมี x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 เราอาจสร้างตัวแปรชุดใหม่ให้เป็น y1 = 3, y2 = 2, y3=1 ซึ่งจะเห็นว่าตัวแปรชุดใหม่ก็คือตัวแปรชุดเก่านำมาสลับที่กัน

ข้อนี้ไม่ยากครับถ้าเราเข้าใจความหมายของวิธีเรียงสับเปลี่ยน ลองสังเกตดูครับว่าวิธีเรียงสับเปลี่ยนสองชุดจะมีคุณสมบัติทางพีชคณิตอะไรที่เหมือนกันบ้าง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

18 ตุลาคม 2004 05:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 18 ตุลาคม 2004, 05:23
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

เพิ่มเติมข้อสามที่น้อง Gools ถามมาครับ
ถ้าให้ G คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเราจะได้ chain ของอสมการเป็นดังนี้

(1 + G)n (1 + a1)...(1 + an) (1 + A)n 1 + S/1! + ... + Sn /n!
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 18 ตุลาคม 2004, 13:22
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

ขอบคุณ noonuii สำหรับข้อผิดพลาดที่ทักท้วงนะครับ. สรุปมั่วนี่เอง 555

ปัญหาของ noonuii, solve ดังนี้ครับ.

วิธีที่ 1 : โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ |a| |b| |c|
กรณีที่ 1 : |c| = 0 จะได้ว่า |a| = |b| = |c| ซึ่งชัดเจนว่าจริง
กรณีที่ 2 : |c| 0
ดังนั้น |a/c| 1 และ |b/c| 1
\ | 1 + a/c | = 1 + a/c และ | 1 + b/c | = 1 + b/c
นั่นคือ | 1 + a/c | + | 1 + b/c | = 1 + (1 + a/c + b/c) 1 + | 1 + a/c + b/c | ... (1)
แต่ |a/c + b/c| |a/c| + |b/c| ... (2)

จับ (1) + (2) จากนั้นนำ |c| คูณตลอด ก็จะได้ตามที่ต้องการ

วิธีที่ 2 : ใช้อสมการ Popoviciu ซึ่งกล่าวว่า
สำหรับฟังก์ชัน f : I R ใด ๆ โดยที่ f เป็น convex function แล้ว f(x) + f(y) + f(z) + 3f[(x+y+z)/3)] 2{ f[(x+y)/2] +f[(y+z)/2] + f[(z+x)/2] }

เมื่อประยุกต์กับ f(x) = |x| ซึ่งเป็น convex function ก็จะได้ว่า
|x| + |y| + |z| + 3| (x+y+z)/3 | 2[ |(x+y)/2| + |(y+z)/2| + |(z+x)/2| ]

ก็ได้เช่นกัน

18 ตุลาคม 2004 13:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 18 ตุลาคม 2004, 13:30
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

เพิ่มเติมให้อีกข้อ ใครมีเวลาว่างลองคิดดูนะครับ.แก้ตัวข้อมั่วด้วย
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนจริงบวก a, b, c, m, n และ p เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ abc = 1

1/a3p(mbp + ncp) + 1/b3p(mcp + nap) + 1/c3p(map + nbp) 3/(m + n)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 20 ตุลาคม 2004, 06:52
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

ขอบคุณพี่ gon สำหรับวิธีคิดครับ สั้นกระชับดีครับ
ส่วนข้อล่าสุดคิดออกแล้วครับ จะพิสูจน์อสมการนี้แทนครับ

ถ้า x,y,z,m,n เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว เราจะได้ว่า

x2/(my+nz) + y2/(mz+nx) + z2/(mx+ny) (x+y+z)/(m+n)

พิสูจน์ โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
x + y + z = (x / my + nz)(my + nz) + (y / mz + nx)(mz + nx) + (z / mx + ny)(my + nz)
LHS(m + n)(x + y + z)
จัดรูปก็จะได้อสมการตามต้องการ

คราวนี้ก็ประยุกต์อสมการข้างบนโดยให้
x = (ab)p , y = (bc)p, z = (ca)p
และใช้ AM-GM กับเงื่อนไข abc = 1 พิสูจน์ว่า x + y + z 3
ก็จะได้คำตอบครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 21 ตุลาคม 2004, 17:19
jae_bau's Avatar
jae_bau jae_bau ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 พฤษภาคม 2004
ข้อความ: 48
jae_bau is on a distinguished road
Post

ใครมีคอลเล็คชั่นอสมการ โดยที่ไม่ใช่แบบฝึกหัดของ สสวท. ( ที่ว่ายากมากแล้ว ) ใช้ความรู้เรื่อง AM-GM-HM inequalities บ้างครับ
มีเฉลยด้วยยิ่งดีเลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 22 ตุลาคม 2004, 09:57
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

มีครับ ลองเอาไปทำดูก่อนครับ เดี๋ยวค่อยมาเฉลย

1. a/(b + d) + b/(c + a) + c/(d + b) + d/(a + c) 2 เมื่อ a,b,c,d > 0

2. ให้ n เป็นจำนวนนับ และ a > 1 จงพิสูจน์ว่า an-1 n(a(n+1)/2 - a(n-1)/2)

3. ถ้า x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง xyz = 1 จงหาค่าสูงสุดของ x2yz

4. จงหาค่าต่ำสุดของ m + 4 / m2 สำหรับ m > 0

5. ให้ n เป็นจำนวนนับ และ x > 0 จงพิสูจน์ว่า 1 + x + x2 + ... + x2n+1 (2n+1)xn
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

22 ตุลาคม 2004 10:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 22 ตุลาคม 2004, 15:53
alongkorn alongkorn ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 สิงหาคม 2004
ข้อความ: 82
alongkorn is on a distinguished road
Icon23

ข้อ 3 ไม่น่าจะหาค่าสูงสุดได้นะครับ เพราะ xyz = 1 ดังนั้น x2yz = xxyz = x1 = x
__________________
รักเพื่อนบ้านเหมือนรักตนเอง

22 ตุลาคม 2004 15:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ alongkorn
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 23 ตุลาคม 2004, 18:49
YOYO YOYO ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 ตุลาคม 2004
ข้อความ: 3
YOYO is on a distinguished road
Post

ข้อ 4 ใฃ้ AM-GM inq
m/2+m/2+4/m23
จะเป็นสมการเมื่อ m=2
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:42


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha