Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 ตุลาคม 2008, 19:24
winlose's Avatar
winlose winlose ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 138
winlose is on a distinguished road
Default โจทย์ทฤษฎีจำนวนในค่ายสอวน.

1.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $999999\times n=111...11$
2.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$
3.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$

ช่วยหน่อยนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 ตุลาคม 2008, 20:54
Invariance Invariance ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 8
Invariance is on a distinguished road
Default

1.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 999999×n=111...11
2.ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a,b)=1 จงพิสูจน์ว่า (a+b,a2−ab+b2)=1 หรือ 3
3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a2+b2=c2 จงพิสูจน์ว่า (a,b,c)=1 ก็ต่อเมื่อ (a,b)=(a,c)=(b,c)=1

ข้อ2
(a+b,a2−ab+b2)=(a+b,a2−ab+b2-(a+b)2)
=(a+b,-3ab) =(a+b,-3ab+(a+b(3b)) =(a+b,3b2) =1,3
ข้อ3
ขากลับ
สมมติให้มีบางค่าที่มี ห.ร.ม.ไม่เท่ากับ1
โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติให้เป็น (a,b)=k ดังนั้น a=mk,b=nk for m,n\in Z
a2+b2=c2 = (mk)2+(nk)2=c2
ดังนั้น k2 หาร c2 ลงตัว

ขาไปก็คล้ายๆกัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 19 ตุลาคม 2008, 08:05
POSN_Psychoror's Avatar
POSN_Psychoror POSN_Psychoror ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 84
POSN_Psychoror is on a distinguished road
Default

2. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$
จะได้ว่า $d|(a+b)$ และ $d|(a^2-ab+b^2)$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|(a^2+2ab+b^2)$
นั่นคือ $d|3ab$
จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|3a(a+b)$
นั่นคือ $d|(3a^2+3ab)$ แต่ $d|3ab$
ดังนั้น $d|3a^2$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า $d|3b^2$ ด้วย
ดังนั้น $d|(3a^2,3b^2)$
นั่นคือ $d|3(a^2,b^2)$
แต่จาก $(a,b)=1$ $=>$ $(a,b^2)=1$ $=>$ $(a^2,b^2)=1$
จะได้ว่า $d|3$
นั่นคือ $d=1$หรือ$3$ ตามต้องการ

3. จาก $(a,b,c)=1$
$(=>)$ $((a,b),c)=1$
$(=>)$ $((a,b),c^2)=1$
$(=>)$ $((a,b)^2,c^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),c^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),a^2+b^2)=1$
$(=>)$ $(a^2,b^2,a^2+b^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,a^2+b^2),b^2)=1$
$(=>)$ $((a^2,b^2),b^2)=1$
$(=>)$ $(a^2,b^2)=1$
$(=>)$ $(a,b)^2=1$
$(=>)$ $(a,b)=1$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า $(b,c)=(a,c)=1$ ตามต้องการ
__________________
I'm POSN_Psychoror...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 27 ตุลาคม 2008, 01:41
God Phoenix's Avatar
God Phoenix God Phoenix ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 สิงหาคม 2008
ข้อความ: 109
God Phoenix is on a distinguished road
Default

ข้อ 3. วิธีนี้ดูแปลกดีนะครับ
แต่ก็ถูกต้องตามหลักเป๊ะๆ
__________________
PHOENIX

NEVER

DIE
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 27 ตุลาคม 2008, 21:12
ลูกชิ้น's Avatar
ลูกชิ้น ลูกชิ้น ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 มีนาคม 2006
ข้อความ: 216
ลูกชิ้น is on a distinguished road
Default

ข้อ 1 นะครับ

9 * 12345679 = 111...1
99 * 11223344...7789 = 111...1
999 * 111222333...777889 = 111...1
9999 * 111122223333...77778889 = 111...1
.
.
.
999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1

แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ
__________________
Do math, do everything.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 29 ตุลาคม 2008, 23:00
God Phoenix's Avatar
God Phoenix God Phoenix ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 สิงหาคม 2008
ข้อความ: 109
God Phoenix is on a distinguished road
Default

อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก
ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ
__________________
PHOENIX

NEVER

DIE
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 02 พฤศจิกายน 2008, 11:28
ExPloSivE ExPloSivE ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 27
ExPloSivE is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น View Post
ข้อ 1 นะครับ

9 * 12345679 = 111...1
99 * 11223344...7789 = 111...1
999 * 111222333...777889 = 111...1
9999 * 111122223333...77778889 = 111...1
.
.
.
999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1

แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ
ผมก็ได้แบบนี้ละคับ
__________________
ถ้าไม่ยึดตึดย่อมคิดสิ่งใหม่ๆได้เสมอ

02 พฤศจิกายน 2008 11:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ExPloSivE
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 04 พฤศจิกายน 2008, 18:20
warutT's Avatar
warutT warutT ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 233
warutT is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ God Phoenix View Post
อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก
ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ
ข้อ 1 กับ ข้อ 2 เป็นข้อสอบปี 49 ครับ ส่วนข้อ 3 เป็นข้อสอบปี 45
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ
แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน
แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน
เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย

"ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น"

Fit for Math!!!
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:04


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha