พิสูจน์ให้ดูหน่อยครับ

[Metamorphosis]

กำหนด $n>1$ และ $n$ เป็นจำนวนนับ
จงพิสูจน์ว่า $n!$ ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูปกำลังสองได้่

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ลองใช้จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่ < หรือ = n สิครับ

[Metamorphosis]

ผมทำถูกไหมครับ

เนื่องจาก $n!>1$ จะได้ว่า มี $p \left|\,\right. n!$ ลงตัว
ให้ $p_n$ แทนจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดที่หาร $n!$ ลงตัว

ให้ $n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot p_n \cdot \cdot n$

ุแบ่งกรณี
ถ้า $p_n = n$ เห็นได้ชัดเจนว่า ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ถ้า $p_n < n$ จะได้ $p_n+1 , p_n+2 , .... , n$ สามารถเขียนอยู่ในรูปจำนวนเต็มบวกคูณกันสองจำนวนคือ a และ b โดย $1<a\leqslant b$ เราก็จะได้ผลตามมาคือ จะมี $p \left|\,\right. a$ และ $p \left|\,\right. b$

เราจะพิสูจน์ว่าไม่มี $p_n+k$ ที่สามารถเขียนอยู่ในรูป $p_n \cdot r$ โดย $r$ เป็นจำนวนเต็มบวก
สมมุติว่าสามารถเขียนได้จริง $p_n + k = p_n \cdot r$ โดย $k < p_n$ (เพราะว่า ถ้า $k\geqslant p_n$ จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะใน $p_n < p < p_n+k$)
$1+\dfrac{k}{p_n} = r$ จะได้ $k = 0$ เท่านั้น ส่งผลให้ $r=1$
สรุปคือ เราไม่สามารถเขียน $n!$ ในอยู่ในรูป $p_n$ มากกว่า 1 จำนวนได้ เมื่อ $n>1$

[PP_nine]

ใช้ Chebychev's Theorem ที่จะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $a<p<2a$ เสมอทุก $a>1$

อันนี้น่าจะง่ายกว่านะครับ

[Amankris]

@#4
#3 เค้าก็ใช้นะครับ (ถ้าไม่ใช้คงทำได้ยุ่งยากกว่านี้)

[PP_nine]

เห็นเขียนเยอะเลยนึกว่าไม่ได้ใช้น่ะครับ มึน

[Metamorphosis]

ช่วยพิสูจน์อันนี้ให้หน่อยครับ


1. จงแสดงว่าถ้า $n \in \mathbb{N} $ ซึ่ง $n>2$แล้วจะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่สอดคล้องกับ n$<p<n!$ (ผมพิสูจน์ว่า n!>2n แทนได้ไหมครับ แล้วอ้าง chebychev)

2. ให้ $p_n$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$ แล้วจงแสดงว่า $p_n > 2n-1$ สำหรับ $n \geqslant 5$

3. ให้ $p_1,p_2,p_3,....p_n$ เป็นลำดับของจำนวนเฉพาะ จงตรวจสอบว่า
$P^* = p_1p_2p_3 \cdot \cdot \cdot \cdot p_n +1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ (ผมใช้ mod 4 อะครับ ได้ปะครับ)

[nooonuii]

$1,3$ ทำได้ครับ

2. ใช้ induction ดูรึยัง

[Metamorphosis]

ขอบคุณครับ

ถ้าจะพิสูจน์ 3 แบบไม่ใช้ modอะครับ ช่วยแสดงให้หน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

3. ให้ $p_1,p_2,p_3,....p_n$ เป็นลำดับของจำนวนเฉพาะ จงตรวจสอบว่า
$P^* = p_1p_2p_3 \cdot \cdot \cdot \cdot p_n +1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ (ผมใช้ mod 4 อะครับ ได้ปะครับ)

กรณี $n=1$ เห็นได้ชัด สมมติ $n\geq 2$

สังเกตว่า $P^*$ เป็นเลขคี่

สมมติ $P^*=(2m+1)^2$ จะได้ว่า

$p_1p_2p_3\cdots p_n=4(m^2+m)$

$p_2p_3\cdots p_n=2(m^2+m)$

ซึ่งขัดแย้ง

[Metamorphosis]

1. Proof that there exist infinitely many positive integers n such that $n\left|\,\right. 2^n+2$

2. สำหรับ $n>1$ จงแสดงว่า ทุกจำนวนเฉพาะที่หาร $n!+1$ ลงตัวจะเป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า $n$

ช่วยดูข้อ 2 หน่อยครับ
สังเกตว่า $n>1, n!+1$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกคี่
ถ้า $n!+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า มีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $n$ ซึ่งหาร $n!+1$ ลงตัว
ถ้า $n!+1$ เป็นจำนวนประกอบ ให้ $n!+1 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \cdot \cdot \cdot p_k+1$
ให้ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งหาร $n!+1$ ลงตัว ถ้า $1 \leqslant i \leqslant k$ จะได้ว่า $p_i \left|\,\right. 1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ถ้า $p_i < n$ จะได้ว่า $p_i\left|\,\right. n!$ ซึ่งเราได้พิสูจน์มาก่อนหน้านี้แล้วว่า $p_i$ ไม่ได้อยู่ในลำดับ $n!$
แสดงว่า $p_i > n$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

2. สำหรับ $n>1$ จงแสดงว่า ทุกจำนวนเฉพาะที่หาร $n!+1$ ลงตัวจะเป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า $n$

ช่วยดูข้อ 2 หน่อยครับ
สังเกตว่า $n>1, n!+1$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกคี่
ถ้า $n!+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า มีจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $n$ ซึ่งหาร $n!+1$ ลงตัว
ถ้า $n!+1$ เป็นจำนวนประกอบ ให้ $n!+1 = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \cdot \cdot \cdot p_k+1$
ให้ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งหาร $n!+1$ ลงตัว ถ้า $1 \leqslant i \leqslant k$ จะได้ว่า $p_i \left|\,\right. 1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ถ้า $p_i < n$ จะได้ว่า $p_i\left|\,\right. n!$ ซึ่งเราได้พิสูจน์มาก่อนหน้านี้แล้วว่า $p_i$ ไม่ได้อยู่ในลำดับ $n!$
แสดงว่า $p_i > n$

สีแดงไม่จริงครับ ถ้า $p_i$ หมายถึงจำนวนเฉพาะตัวที่ $i$ และทำอะไรยุ่งยากกว่าที่โจทย์กำหนด

ถ้าอ่านโจทย์ให้ดีจะต้องเริ่มแบบนี้

สมมติ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p|(n!+1)$

ถ้า $p\leq n$ จะเกิดอะไรขึ้นครับ ?

อีกสองบรรทัดจบ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สีแดงไม่จริงครับ ถ้า $p_i$ หมายถึงจำนวนเฉพาะตัวที่ $i$ และทำอะไรยุ่งยากกว่าที่โจทย์กำหนด

ถ้าอ่านโจทย์ให้ดีจะต้องเริ่มแบบนี้

สมมติ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p|(n!+1)$

ถ้า $p\leq n$ จะเกิดอะไรขึ้นครับ ?

อีกสองบรรทัดจบ

$p_i$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัวที่ $i$ ครับ แล้วทำไมไม่จริงหรอครับ

สำหรับคำแนะนำขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

$p_i$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัวที่ $i$ ครับ แล้วทำไมไม่จริงหรอครับ

สำหรับคำแนะนำขอบคุณมากครับ

แล้ว $p_i$ คืออะไรเหรอครับ

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะก็คงไม่จริงอยู่ดีเพราะ $n!$ มีตัวประกอบเยอะกว่านั้นมากครับ

เช่น $4!=2^3\cdot 3$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แล้ว $p_i$ คืออะไรเหรอครับ

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะก็คงไม่จริงอยู่ดีเพราะ $n!$ มีตัวประกอบเยอะกว่านั้นมากครับ

เช่น $4!=2^3\cdot 3$

ก็คือ เราสมมุติให้ $p_i$ อยู่ใน $p_1,p_2,..p_k$ ซักตัวนึง

เช่น $4! = 2*2*2*3$

คือ $p_1 =2, p_2 =2 ,p_3 =2, p_4=3$ เราให้ $p_i$ หาร $4!+1$ ลงตัว แสดงว่า $p_i$ ต้องหาร $p_1p_2p_3p_4$ และ $1$ ลงตัวด้วยเช่นกันซึ่งเป็นไปไม่ได้อะครับ ผมเข้าใจอะไรผิดไปไหม