ข้อสอบ 11th TUMSO วิชาคณิตศาสตร์

[TGM8]

สวัสดีครับเพื่อนๆ พี่ๆ ชาว Mathcenter วันนี้ผมก็จะมาแบ่งปันโจทย์การแข่งขันคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาจากงาน 11th Triam Udom Mathematics and Science Olympiad หรือที่เรียกสั้นๆ ว่า TUMSO ครับ

ผมจะทยอยอัพโหลดโจทย์รอบแรก รอบสอง และเฉลย

ขอให้ทุกท่านสนุกกันให้เต็มที่ครับ

[Persister]

ขอบคุณมากๆ ครับ

[Amankris]

ขอบคุณครับ

ช่วยแก้เซ็งได้เยอะเลย

[แม่ให้บุญมา]

ตอน 3 ข้อ 6
เนื่องจาก ทางเดินกระสุนเป็นโปรเจคไตล์ ซึ่งมีความสมมาตร ขาขึ้นจะเหมือนกันขาลง ดังนั้น
ระยะที่ลูกปืนยิงขึ้นสูง 2 เมตร จากจุดยิงที่เวลา $t=t_1$ จะเท่ากับระยะที่ต้องการคือ
$S_{y_1}=ut_1\sin45-\frac{1}{2}gt_1^2=2$ . (1)
$S_{x_1}=ut_1\cos45$ (2)
และจะได้ตำแหน่งเทียบเท่าที่ผ่านหินย้อย ซึ่งสูง 3 เมตร ดังนี้
$S_{y_2}=ut_2\sin45 -\frac{1}{2}gt_2^2=3$ (3)
$ S_{x_2}=ut_2\cos45 $ (4)
(3) – (1) ได้ $(t_2-t_1)u\sin45 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
(4) – (2) ได้ $ S_{x_2 }- S_{x_1} = (t_2-t_1)u\cos45=5 $ (6)
ได้ $ t_2-t_1 = \frac{5}{u\cos45} $ (9)
แทนค่า (6) ใน (5) ได้
$ 5 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
ได้ $ (t_2^2-t_1^2)=\frac{8}{g}$ (10)
(10)/(9) ได้ $ t_2 + t_1 =\frac{8\cos45}{5g} $ (11)
จาก (9),(11) ได้
$t_1=\frac{8u\cos45^2 -25g}{10gu\cos45}=\frac{4u - 25g}{10gu\cos45}$
$t_2=\frac{8u\cos45^2 +25g}{10gu\cos45}=\frac{4u +25g}{10gu\cos45}$

.แทนค่า ลงใน (1) ได้ $40u^3-4516u^2+2000u-62500=0$ และได้ $u=112.576$
และจาก (2) จะได้ ระยะที่ต้องการ คือ $S_{x_1}=ut_1\cos45=2.00284$ เมตร ตอบ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ตอน 3 ข้อ 6
เนื่องจาก ทางเดินกระสุนเป็นโปรเจคไตล์ ซึ่งมีความสมมาตร ขาขึ้นจะเหมือนกันขาลง ดังนั้น
ระยะที่ลูกปืนยิงขึ้นสูง 2 เมตร จากจุดยิงที่เวลา $t=t_1$ จะเท่ากับระยะที่ต้องการคือ
$S_{y_1}=ut_1\sin45-\frac{1}{2}gt_1^2=2$ . (1)
$S_{x_1}=ut_1\cos45$ (2)
และจะได้ตำแหน่งเทียบเท่าที่ผ่านหินย้อย ซึ่งสูง 3 เมตร ดังนี้
$S_{y_2}=ut_2\sin45 -\frac{1}{2}gt_2^2=3$ (3)
$ S_{x_2}=t_2\cos45 $ (4)
(3) ? (1) ได้ $(t_2-t_1)u\sin45 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
(4) ? (2) ได้ $ S_{x_2 }- S_{x_1} = (t_2-t_1)u\cos45=5 $ (6)
ได้ $ t_2-t_1 = \frac{5}{u\cos45} $ (9)
แทนค่า (6) ใน (5) ได้
$ 5 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
ได้ $ (t_2^2-t_1^2)=\frac{8}{g}$ (10)
(10)/(9) ได้ $ t_2 + t_1 =\frac{8\cos45}{5g} $ (11)
จาก (10),(11) ได้
$t_1=\frac{8u^2\cos45^2 -25g}{10gu\cos45}$
$t_2=\frac{8u^2\cos45^2 +25g}{10gu\cos45}$
.แทนค่า ลงใน (1) ได้ $24u^4-250gu^2-625g^2=0$ และได้ $u^2=\frac{25g}{2}=125$
และจาก (2) จะได้ ระยะที่ต้องการ คือ $S_{x_1}=ut_1\cos45=\frac{50g-25g}{10g}=2.5$ เมตร ตอบ

รู้สึกเฉลยจะตอบ 10 นะครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

รู้สึกเฉลยจะตอบ 10 นะครับ

ถ้ามีเฉลยช่วยเอามาลงด้วย คงดีครับ อยากรู้ว่าผิดตรงไหน ผมแก้ข้อบกพร่องแล้ว ก็ยังไม่ได้

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ถ้ามีเฉลยช่วยเอามาลงด้วย คงดีครับ อยากรู้ว่าผิดตรงไหน ผมแก้ข้อบกพร่องแล้ว ก็ยังไม่ได้

เฉลย มันเฉลยแต่คำตอบ อ่ะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แม่ให้บุญมา

ตอน 3 ข้อ 6
เนื่องจาก ทางเดินกระสุนเป็นโปรเจคไตล์ ซึ่งมีความสมมาตร ขาขึ้นจะเหมือนกันขาลง ดังนั้น
ระยะที่ลูกปืนยิงขึ้นสูง 2 เมตร จากจุดยิงที่เวลา $t=t_1$ จะเท่ากับระยะที่ต้องการคือ
$S_{y_1}=ut_1\sin45-\frac{1}{2}gt_1^2=2$ . (1)
$S_{x_1}=ut_1\cos45$ (2)
และจะได้ตำแหน่งเทียบเท่าที่ผ่านหินย้อย ซึ่งสูง 3 เมตร ดังนี้
$S_{y_2}=ut_2\sin45 -\frac{1}{2}gt_2^2=3$ (3)
$ S_{x_2}=ut_2\cos45 $ (4)
(3) ? (1) ได้ $(t_2-t_1)u\sin45 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
(4) ? (2) ได้ $ S_{x_2 }- S_{x_1} = (t_2-t_1)u\cos45=5 $ (6)
ได้ $ t_2-t_1 = \frac{5}{u\cos45} $ (9)
แทนค่า (6) ใน (5) ได้
$ 5 - \frac{1}{2}g(t_2^2-t_1^2)=3-2=1$ (5)
ได้ $ (t_2^2-t_1^2)=\frac{8}{g}$ (10)
(10)/(9) ได้ $ t_2 + t_1 =\frac{8\cos45}{5g} $ (11)
จาก (9),(11) ได้
$t_1=\frac{8u\cos45^2 -25g}{10gu\cos45}=\frac{4u - 25g}{10gu\cos45}$
$t_2=\frac{8u\cos45^2 +25g}{10gu\cos45}=\frac{4u +25g}{10gu\cos45}$

.แทนค่า ลงใน (1) ได้ $40u^3-4516u^2+2000u-62500=0$ และได้ $u=112.576$
และจาก (2) จะได้ ระยะที่ต้องการ คือ $S_{x_1}=ut_1\cos45=2.00284$ เมตร ตอบ

ผมมีข้อสงสัยดังนี้คับ
1. ระยะที่ลูกปืนยิงขึ้นสูง 2 เมตร จากจุดยิงที่เวลา $t=t_1$ จะเท่ากับระยะที่ต้องการคือ
$S_{y_1}=ut_1\sin45-\frac{1}{2}gt_1^2=2$ . (1)

และจะได้ตำแหน่งเทียบเท่าที่ผ่านหินย้อย ซึ่งสูง 3 เมตร ดังนี้
$S_{y_2}=ut_2\sin45 -\frac{1}{2}gt_2^2=3$ (3)

ถ้าโปรเจคไทล์ผ่านสองจุดนี้ แล้วจะได้ระยะมากที่สุดตามข้อกำหนดที่โจทย์อยากได้รึเปล่า ?
2. ระยะสิ่งที่โจทย์ถามใช่ระยะ $S_{x_1}$ ที่คุณบอกมาจริงหรือไม่
3. ทำไมมันต้องผ่านสองจุด มันถามค่าสูงสุด ก็ควรเป็นอสมการ ไม่น่าเป็นสมการ

ผมแค่งง และสงสัยนะครับ ไม่ได้มีเจตนาอย่างอื่น อย่าให้ช้างมาโฉบผมเลย ผมกลัว
ช้างเป็นสัตว์กินเลือดที่น่ากลัวจริงๆ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ไม่มีข้อสอบTUGMOsปีนี้บ้างหรือครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...ghlight=TUGMOs

และ http://www.mathcenter.net/forum/show...ghlight=TUGMOs

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมมีข้อสงสัยดังนี้คับ
1. ระยะที่ลูกปืนยิงขึ้นสูง 2 เมตร จากจุดยิงที่เวลา $t=t_1$ จะเท่ากับระยะที่ต้องการคือ
$S_{y_1}=ut_1\sin45-\frac{1}{2}gt_1^2=2$ . (1)

และจะได้ตำแหน่งเทียบเท่าที่ผ่านหินย้อย ซึ่งสูง 3 เมตร ดังนี้
$S_{y_2}=ut_2\sin45 -\frac{1}{2}gt_2^2=3$ (3)

ถ้าโปรเจคไทล์ผ่านสองจุดนี้ แล้วจะได้ระยะมากที่สุดตามข้อกำหนดที่โจทย์อยากได้รึเปล่า ?
2. ระยะสิ่งที่โจทย์ถามใช่ระยะ $S_{x_1}$ ที่คุณบอกมาจริงหรือไม่
3. ทำไมมันต้องผ่านสองจุด มันถามค่าสูงสุด ก็ควรเป็นอสมการ ไม่น่าเป็นสมการ

ผมแค่งง และสงสัยนะครับ ไม่ได้มีเจตนาอย่างอื่น อย่าให้ช้างมาโฉบผมเลย ผมกลัว
ช้างเป็นสัตว์กินเลือดที่น่ากลัวจริงๆ

มันเกี่ยวอะไรกับช้างวะครับ!!?? ผมสงสัยครับ ผมงงมากๆเลยครับ
1.โจทย์ข้อนี้เกี่ยวกับช้างตรงไหนเหรอครับ
2.เป็นช้าง จา พนม หรือเปล่า
3. โอ ถ้าเป็นช้าง จา พนม นี่ลำบากเลยนะครับ แล้วจะทำยังไงดีครับ

ผมแค่งง และสงสัยนะครับ ไม่ได้มีเจตนาอย่างอื่น อย่าให้ จา พนม มาศอกผมเลย ผมกลัว
จา พนม เป็นควาญช้างที่น่ากลัวจริงๆ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

มันเกี่ยวอะไรกับช้างวะครับ!!?? ผมสงสัยครับ ผมงงมากๆเลยครับ
1.โจทย์ข้อนี้เกี่ยวกับช้างตรงไหนเหรอครับ
2.เป็นช้าง จา พนม หรือเปล่า
3. โอ ถ้าเป็นช้าง จา พนม นี่ลำบากเลยนะครับ แล้วจะทำยังไงดีครับ

ผมแค่งง และสงสัยนะครับ ไม่ได้มีเจตนาอย่างอื่น อย่าให้ จา พนม มาศอกผมเลย ผมกลัว
จา พนม เป็นควาญช้างที่น่ากลัวจริงๆ

http://www.facebook.com/pages/%E0%B8...731762?fref=ts

ตามนี้ครับ

ปล.ระวังช้างโฉบนะครับ

[,,,aaaaa]

ข้อ12มีแนวคิดยังไงหรอครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

อยากรู้เหมือนกันครับ ยังคิดไม่ออกเลย

[BLACK-Dragon]

ข้อ 3 เรขาตอนที่ 3 นี้ตอบเท่าไหร่อ่ะครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 12

$(\dfrac{6}{5}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2010}{2009}\times \dfrac{2013}{2012})^3$

$ =\dfrac{6}{5}\times\dfrac{6}{5}\times\dfrac{6}{5}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2013}{2012}\times \dfrac{2013}{2012} \times \dfrac{2013}{2012}$

$> \dfrac{6}{5}\times\dfrac{7}{6}\times\dfrac{8}{7}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2013}{2012}\times \dfrac{2014}{2013} \times \dfrac{2015}{2014}$

$= \dfrac{2015}{5}$

$> (\dfrac{22}{3})^3$

$\dfrac{6}{5}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2010}{2009}\times \dfrac{2013}{2012} > \dfrac{22}{3}$

$\therefore \dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{5}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2010}{2009}\times \dfrac{2013}{2012} \ge 11$

$\dfrac{3}{2}\times\dfrac{6}{5}\times\dfrac{9}{8}\times\cdots\times\dfrac{2010}{2009}\times \dfrac{2013}{2012} < 12$ ก็ทำคล้ายๆกันแต่ขั้นนี้ bound ค่ายากมาก

สุดท้ายจะได้คำตอบคือ 11