โจทย์ทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น

[jabza]

ถ้าdเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง(15k+27)หารด้วยdลงตัว และ(3k+2)หารด้วยdลงตัว แล้วd ตรงกับข้อใด
1.1หรือ17
2.3หรือ11
3.2หรือ13
4.4หรือ19
ป.ล.เค้าเฉลยข้อ4ครับ ผมทำไม่ได้ช่วยชี้แนะด้วย

[Mathophile]

ผมได้ข้อ 1 น่ะครับ น้อง jabza ได้เหมือนกันหรือเปล่าครับ แล้วทำไมเฉลยข้อ 4 หว่า

[M@gpie]

พี่คิดแล้วได้ ข้อ 1. อ่ะคับ แต่ไม่รู้ว่าถูกไหม
เนื่องจาก $d\mid (15k+27)$ และ $d\mid (3k+2)$ จะได้ว่า
\[d\mid \{ (15k+27)\cdot 1 + (3k+2)\cdot (-5)\} \Rightarrow d\mid 17 \]
และ $17$ เป็นจำนวนเฉพาะจึงได้ว่า $d=1, 17$ ตรงกับข้อ 1. ครับ

[ผู้ไม่ประสงค์ออกนาม]

กระทู้ข้างบน ของคุณพี่M@gpie ผมอ่านแล้วไม่เข้าใจอะครับช่วยให้พี่ให้คำอธิบายด้วย

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

พี่คิดแล้วได้ ข้อ 1. อ่ะคับ แต่ไม่รู้ว่าถูกไหม
เนื่องจาก $d\mid (15k+27)$ และ $d\mid (3k+2)$ จะได้ว่า
\[d\mid \{ (15k+27)\cdot 1 + (3k+2)\cdot (-5)\} \Rightarrow d\mid 17 \]
และ $17$ เป็นจำนวนเฉพาะจึงได้ว่า $d=1, 17$ ตรงกับข้อ 1. ครับ

จากข้อความพี่M@gpie ผมเข้าใจแล้วครับ มันเฉลยผิดจริงๆครับ ผมยังไม่ค่อยคล่องเรื่องทบ.ผลรวมเชิงเส้น ต้องขอขอบคุณพี่M@gpie สงสัยอยู่นิดนึง 1กับ -5 เอามาจากไหนครับ โปรดชี้แนะอีกครั้ง

เข้าไปดูในกระทู้ข้อสอบGifted มงฟอร์ตด้วยก็ดีนะครับ

[M@gpie]

อ่าวิธีทำคือใช้ทฤษฎีบทนี้ครับ
ถ้า $d\mid a$ และ $d\mid b$ แล้วจะได้ว่า จะมีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ทำให้ $d\mid (ax+by)$
ส่วน $-5$ เลือกมาเพื่อให้หักล้างกับ $15k$ น่ะครับ จะได้เหลือแต่ตัวเลข

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ถ้า $d\mid a$ และ $d\mid b$ แล้วจะได้ว่า จะมีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ทำให้ $d\mid (ax+by)$

ข้อความนี้ไม่ผิดครับ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเป็นอะไรแนวๆนี้ครับ

ถ้า $d\mid a$ และ $d\mid b$ แล้ว $d\mid ax+by$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x,y$

[kanakon]

ลองอีกวิธี คล้ายกัน

$ 15k + 27 = dA$ ....................$\beta_1 $

$ 3k + 2 = dB$ .....................$\beta_2 $

$A,B \in I $

$\beta_1 $ - 5$\beta_2 $ = $17 = d(A - 5B)$

$ \therefore $ $d |17$

$ \therefore $ $d = 1,17$