ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

[gon]

ก็ดูอยู่ครับ ยังมีอะไรอีกล่ะ?

[สิริกานต์]

อยากให้พี่ดู ของ คุณnooonuii ในการพิสูจน์ ในกระทู้นี้หน่อยว่าถูกมั้ย คือ ที่พี่เค้าทำอะค่ะ
มันเป็นช่วง xณ0 ซึ่งตอนแรกก็กำหนดแล้วว่า x เป็นบวกเล็กๆ ดังนั้นช่วงที่ถูกก็คือ
x>0 แล้วการพิสูจน์ของพี่เค้า สมมติฟังก์ชันได้หรือค่ะ

[gon]

อืม... ยังไงคุยกับ nooonuii โดยตรงไม่ดีกว่าหรือครับ... ถ้าสงสัยหรือติดขัดกันตรงไหน noonuii ก็คงเข้ามาดูอยู่เรื่อย ๆ อยู่แล้ว แต่ตอนนี้อาจจะไม่ได้ตอบมากเท่าไร

อีกอย่างข้อเสียของพี่คือไม่ชอบทำความเข้าใจกับวิธีการคิดของคนอื่นสักเท่าไร (ถ้าไม่จำเป็นจริงๆ) ถ้า nooonuii ไม่แวะเข้ามาตอบยังไงค่อยว่ากันอีกทีครับ.

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ สิริกานต์:
อยากให้พี่ดู ของ คุณnooonuii ในการพิสูจน์ ในกระทู้นี้หน่อยว่าถูกมั้ย คือ ที่พี่เค้าทำอะค่ะ
มันเป็นช่วง xณ0 ซึ่งตอนแรกก็กำหนดแล้วว่า x เป็นบวกเล็กๆ ดังนั้นช่วงที่ถูกก็คือ
x>0 แล้วการพิสูจน์ของพี่เค้า สมมติฟังก์ชันได้หรือค่ะ

การพิสูจน์สำหรับ x>0 ก็ทำแบบเดียวกันครับ ลองเอาไปคิดเป็นการบ้านดูนะครับ

[สิริกานต์]

พีกรสวัสดีค่ะ สบายดีมั้ยค่ะ พี่ พอจะมีวิธีแสดง cosx <1 สำหรับ x เป็นจำนวนบวกเล็กมั้ยค่ะ

[สิริกานต์]

พอดีว่าอยากได้ หลายๆวิธีค่ะ อาจารย์ว่ายังน้อยไป รบกวนหน่อยนะค่ะ

[gon]

ไม่เข้าใจว่า มีอะไรต้องแสดงหรือครับ ในเมื่อ cosine เป็นฟังก์ชันจาก $\theta$ ไปยัง x เมื่อ x เป็นสมาชิกของคู่อันดับ (x, y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย ดังนั้นตามนิยาม จะได้ว่า $\cos x \le 1$ และ เมื่อ $x \ne 2n\pi$ ก็ชัดเจนว่า $\cos x < 1$

หรือนิยามเป็นแบบอื่นครับ.

[สิริกานต์]

อยากให้พี่ กร พิสูจน์หน่อยค่ะ sinx > x/(1+x^2)^1/2 และ cosx > 1-x^2 (สำหรับcosxนี้พี่ได้พิสูจน์ไว้แล้วแต่มีวิธีอื่นอีกมั้ยค่ะ) ขอบคุณค่ะ สบายดีนะค่ะ

[สิริกานต์]

แงะ ยังไม่มีใครตอบเลยอ่าค่ะ

[สิริกานต์]

พี่กร ช่วยพิสูจน์ sinx > x/(1+x^2)^1/2 ให้หน่อยสิค่ะ

[passer-by]

ผมว่า $ \sin x > \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $ มีโอกาสเป็นเท็จนะครับ

เพราะเราอาจจะเลือก x > 0 ที่ทำให้ sin(x) < 0 ได้ ซึ่งจะทำให้ ซ้ายมือของอสมการเป็นลบ แต่ขวามือของ อสมการเป็นบวก

[สิริกานต์]

ที่จะให้พิสูจน์ คือว่า ค่า x เป็นค่าบวกเล็กๆนะค่ะ ลืมบอกไป คราวนี้ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

[gon]

โดยอนุกรมเทเลอร์ $\sin x = \Sigma_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
ให้สังเกตว่าการประมาณโดยอนุกรมเทเลอร์เมื่อ x > 0 จะเป็นลักษณะ overestimate สลับกับ underestimate กล่าวคือ
$sin x < x , sin x > x - \frac{x^3}{6}$ (ซึ่งเราเคยพิสูจน์โดยใช้ตรีโกณไปแล้ว) , $sin x < x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} , ...$

ทำนองเดียวกันกับ $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = (1 + x^2)^{-\frac{1}{2}}$ โดยทฤษฎีบททวินาม เมื่อ $|x^2| < 1$ จะได้ว่าอนุกรมอนันต์ลู่เข้า โดย
$(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} = \Sigma_{n = 0}^{\infty} {c \choose n}x^n = 1 + (-\frac{1}{2})x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2} -1)(x^2)^2}{2!} + \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{3}{8}x^4 - \cdots$

จะเห็นว่าเมื่อ 0 < x < 1 จะเป็นการประมาณแบบ overestimate สลับกับ underestimate กล่าวคือ $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} < 1 , \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} > 1 - \frac{x^2}{2} , \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{3x^4}{8}$

เพราะว่า $\sin x > x - \frac{x^3}{6} \quad \cdots (1)$
และ $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} < x - \frac{x^3}{2} + \frac{3x^5}{8} \quad \cdots (2)$

เป็นการเพียงพอที่จะแสดงให้ได้ว่า $x - \frac{x^3}{6} > x - \frac{x^3}{2} + \frac{3x^5}{8} \cdots$ ก็ต่อเมื่อ $x^2 < \frac{8}{9}$ ซึ่งเป็นจริงเพราะเมื่อ x เป็นบวกเล็กๆ ชัดเจนว่า $x^2 < \frac{8}{9}$

ดังนั้น จึงได้ว่า $\sin x > \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ตามต้องการ

Note : ถ้ามีข้อสงสัยที่คิดว่าผิดพลาดตรงไหน ขอให้ใช้ความพยายามให้มากถึงที่สุดก่อนตั้งคำถามต่อนะครับ ไม่ว่าจะเป็นการหาเนื้อหาอ่านประกอบส่วนที่อาจจะไม่เข้าใจหรือส่วนที่คิดว่าไม่ถูกต้อง เพราะตอนนี้พี่อยู่ในภาวะวุ่นมาก ๆ วุ่นกว่าเจ้าหญิงวุ่นวายเจ้าชายติ๊งต๊องอะไรนั่นอีก เดือนก่อนพี่รับปากคนอื่นทำงานบางอย่างเพิ่มอีก ดังนั้นตอนนี้พี่คงต้องจัดระดับความสำคัญของเรื่องคนอื่นไว้ระดับต่ำสุดก่อน ไม่งั้นงานอื่นเละแน่

[mayalone]

ขอบคุณค่ะ ที่สละเวลามาดูให้นะค่ะ เอ่อ แล้ว cosx>1-x^2 ช่วยดูให้อีกทีนะค่ะ ขอบคุณค่ะ

[สิริกานต์]

อยากถามพี่กรค่ะว่า ข้อความที่ ''จะเห็นว่าเมื่อ 0 < x < 1 จะเป็นการประมาณแบบ overestimate สลับกับ underestimate'' มันคิดอย่างไรค่ะ ที่มันมีเครื่องหมาย มากกว่าน้อยกว่าสลับกันหนะค่ะ มีวิธีพิสูจน์มั้ย ถ้าใช้กราฟก็จะเป็นจริงค่ะ แต่ถ้าพิสูจน์โดยตรงจะทำอย่างไรค่ะ มันได้โพสนานเลยพี่กรสบายดีนะค่ะ ช่วยตอบด้วยค่ะ