ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

[สิริกานต์]

จาก sinx = x-x^/3!+...... คือสรุปว่าเป็นอนุกรมกำลังหนะค่ะ
ทีนี้อยากรู้ว่า x>sinx>x-x^/3! มีที่มา พิสูจยังไงค่ะ

[Mr.high]

อสมการอันแรกได้พิสูจน์ให้ไปแล้วส่วน
อสมการอันขวารู้สึกว่าไม่ค่อยจริงเท่าไร
ถ้าเราพิจารณาการกดเครื่องคิดเลข
โดยให้ x = 1.2
จะได้ sin x ป 0.932
แต่ x - x/6 = 1.0 ซึ่งขัดแย้งกันอย่างชัดเจน

ปล. ทีหลังกรุณาโพสต์กระทู้เดียวด้วยนะครับ

[gon]

เข้าใจว่าน่าจะหมายถึง $\sin x > x - \frac{x^3}{3!}$ ล่ะมั้ง

เอาเป็นแบบที่ว่านะครับ. พิจารณาจากสูตร $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4\sin^3\theta$
ดังนั้น $\sin x = 3\sin \frac{x}{3} - 4\sin^3 \frac{x}{3}$ หรือ

$\sin x - 3\sin \frac{x}{3} = - 4\sin^3 \frac{x}{3} \quad \cdots (1)$
ประยุกตร์สมการ (1) เช่น แทน x ด้วย x/3 ซ้ำ ๆ จะได้
$\sin \frac{x}{3} - 3\sin \frac{x}{3^2} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^2} \quad \cdots (2)$
$\sin \frac{x}{3^2} - 3\sin \frac{x}{3^3} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^3} \quad \cdots (3)$
$\vdots$
$\sin \frac{x}{3^{n-2}} - 3\sin \frac{x}{3^{n-1}} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^{n-1}} \quad \cdots (n-1)$
$\sin \frac{x}{3^{n-1}} - 3\sin \frac{x}{3^n} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^n} \quad \cdots (n)$

$(1) + 3(2) + 3^2(3) + \cdots + 3^{n-1}(n) $ จะได้
$\sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} = -4(\sin^3 \frac{x}{3} + 3\sin^3 \frac{x}{3^2} + 3^2\sin^3 \frac{x}{3^3} + \cdots + 3^{n-1} \sin^3 \frac{x}{3^n})$

แต่เนื่องจาก $ x > \sin x $ ทุก $0 < x < \frac{\pi}{2} $
ดังนั้น $\sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} > -\frac{4x^3}{3^3}(1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^{2n-2}})$

นั่นคือ $\sin x > 3^n \sin \frac{x}{3^n} - \frac{4x^3}{3^3} [\frac{1 - \frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{3^2}}] $

เมื่อ $n \Rightarrow \infty$ จะำได้ $3^n\sin \frac{x}{3^n} \Rightarrow x$ และ $\frac{1 - \frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{3^2}} \Rightarrow \frac{9}{8}$

นั่นคือ $\sin x > x - \frac{4x^3}{3^3}\frac{9}{8} = x - \frac{x^3}{6}$ ทุก $0 < x < \frac{\pi}{2}$

[สิริกานต์]

ยังงง อยู่ค่ะตรงที่ เมื่อn⇒∞ เราได้ไงว่า เข้าใกล้ x

sinx>x-x^(3)/3! จากตรงนี้พี่กำหนดช่วงว่า ทุก 0<x<p/2 หนูลองแทนค่า x เป็น 150 อสมการนี้ยังใช้ได้อยู่ค่ะ คือว่า มันเป็นจริงสำหรับทุกค่า x หรือปล่าว แล้วก็ยังงงว่า x ในที่นี้ หมายถึงมุม หรือ ค่าตัวเลขค่ะ ในเอกสารมันบอกว่า x small and positive คุณMr.high ได้แสดงว่า x > sinx แล้วแต่อยากจะให้พี่ช่วยแสดงให้ดู หน่อยค่ะ ขอบคุณค่ะ เอาในแบบฉบับของพี่นะค่ะ

[gon]

ถ้ายังไม่เข้าใจบางจุด เดี่ยวรอก่อนนะครับ... คืนนี้ขอนอนก่อนล่ะ

[สิริกานต์]

ค่ะ นอนก่อนก็ได้ค่ะ เข้าใจว่าพี่เหนื่อยมาทั้งวัน ตอนนี้เที่ยงแล้วตื่นยังเนี่ย พี่คงจำได้นะ ว่าหนูเคยขอให้พี่หาเวป ที่มีเกี่ยวกับสัมนาให้ ก็เรื่องนี้แหละที่เอามาทำ ตอบมาเร็วนะค่ะ ขอบคุณค่ะ

[gon]

เสาร์ อาทิตย์ ปกติพี่จะต้องออกแต่เช้าตรู่กลับมาก็มืด ๆครับ.

เมื่อ $n \Rightarrow \infty , \quad 3^n \sin \frac{x}{3^n} \Rightarrow x$
เพราะมาจากการที่เราพิสูจน์ได้ว่า $\lim_{x \Rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ครับ.

อสมการ $\sin x > x - \frac{x^3}{3!}$ เป็นจริงทุก x ไหม.? คำตอบดูจากรูป

(ค่าวิกฤตของ sin x ค่าหนึ่ง คือ $\frac{\pi}{2}$ ส่วน่ค่าวิกฤตค่าหนึ่งของ $x - \frac{x^3}{6}$ คือ $\sqrt{2}$ จากรูปจะเห็นได้ว่า $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ เป็นจริงเมื่อ ...

x ที่เราพูดถึงกันทั่วๆไปไม่ว่าจะที่ไหนในระบบจำนวนจริง ก็จะหมายถึง จำนวนจริงครับ... เช่น $\pi$ ก็จะหมายถึง ค่าประมาณ 3.14 , 150 องศาก็หมายถึง 5pi/6 = ...

การแสดงว่า $x > \sin x$ นั้นเป็นจริงทุก $0 < x < \frac{\pi}{2}$ โหลครับ... อย่างที่คุณ High บอก หาดูได้จากหนังสือแคลคูลัสปี 1 ทั่วไป เขียนให้ดูอีกครั้ง.


จากรูป พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี r หน่วยใด ๆ(ส่วนมากใช้วงกลม 1 หน่วย) จะได้ว่า
พื้นที่รูปสามเหลี่ยม OAB < พื้นที่เซคเตอร์ AOB นั่นคือ $\frac{1}{2}r(r \sin \theta) < \frac{1}{2}r (r \theta)$
เมื่อ $\theta > 0$ ก็จะได้ว่า $\theta > \sin \theta$

นั่นคือ เมื่อ $x > 0$ ก็จะได้ว่า $x > \sin x$

แต่ไม่จริงเมื่อ x < 0 ดังนั้นจึงไม่สามารถนำไปถ่ายทอด ต่อ เป็น $x > \sin x$ กับ $\sin x > x - \frac{x^3}{3!}$ เป็น $x > \sin x > x - \frac{x^3}{3!}$ ทุก x ได้ แต่เป็นจริงทุก x > 0 เท่านั้น.

[สิริกานต์]

ขอบคุณพี่มากเลยค่ะ เก่งอะไรอย่างนั้น พอดีว่ายังสงสัยในส่วนอื่นอยู่อีกค่ะ เอาไว้ค่อยวันหลังแล้วกันค่ะ
กลับมืดๆก็รักษาสุขภาพบ้างนะค่ะ

[สิริกานต์]

สงสัยอีกแล้วค่ะ ในเอกสารมันกำหนดให้ 1+x^2 > 36/(6-x^2)^2 in order to see that relation is
true for small positive values of x we exmine the function
f(x)=1+x^2 - 36(6-x^2)^(-2) อยากรู้ว่า ทำไมต้องตรวจสอบฟังก์ชันนี้ด้วยค่ะ มันมีที่มายังไง
แปลเป็นไทยว่า เพื่อที่จะตรวจสอบความสัมพันธ์นี้ว่าเป็นจริงสำหรับค่าของ x ที่เป็นบวกเล็กๆ เราต้องตรวจสอบฟังก์ชันนี้

[สิริกานต์]

พี่หนะใจร้ายมากเลย บอกก็บอกไม่หมด ตกลง sinx > x - x^3 /3! เมื่อไหร่หละค่ะ ไม่ใช่ถามเล่นๆนะ
เอาไปทำสัมนานะ ถ้าอาจารย์เค้าถามมา ตอบผิดตอบถูกหนูโทษพี่นะ ที่ถามเพราะมันคิดไม่ออกหงะ

[gon]

ตั้งคำถามนี้แสดงว่า น้องอ่านที่เขียนไม่เข้าใจ
แล้วถ้าคิดไม่ออกง่าย ๆ พีก็่บอกให้ดูรูปทำไมไม่ดูล่ะ หรือใช้โปรแกรมวาดขึ้นมา บอกให้ก็ได้ เมื่อ x > 0

ถ้าผิดต้องโทษตัวเองครับ... อย่าโทษคนอื่น...

[สิริกานต์]

ขอโทษค่ะพี่ อือ รู้สึกแย่จัง เดี๋ยวจะปรับปรุงตัวนะค่ะ คำถามนี้เป็นคำถามสุดท้ายแล้วนะค่ะ ที่จะถามคือว่า อยากให้พี่ ช่วยเขียนกราฟ เพื่อดูความสัมพันธ์ของ sinx > x/(1+x^2)^1/2 ค่ะ เพื่อดูว่า มันเป็นจริงสำหรับ x ที่ small and positive จริงมั้ย อย่าโกรธนะค่ะ เดี๋ยวไม่หล่อนะนะนะนะนะ

[gon]

ที่พี่คาดหวังไว้ในตอนแรก ก็คือ น้องจะถามกลับว่า ไม่เข้าใจตรงจุดไหน กับ จะใช้โปรแกรมอะไรในการวาดภาพดี.?

เอาล่ะ พี่เข้าใจว่าคนเราตอนกำัลังในสถานะที่คิดว่าถูกรุ้มเร้าด้วยปัญหา ย่อมหาทางแก้ เพื่อที่จะหลุดพ้นจากสภาพความกดดันนั้น

แต่พี่ก็ต้องแข็งใจที่จะไม่พยายามบอกอะไรตรง ๆ เพราะคณิตศาสตร์พี่คิดว่ามันเป็นสิ่งที่พยายามคิดและเข้าใจด้วยตัวเองทั้งหมดให้ได้ คำตอบสำหรับพี่แล้ว หาใช่สาระสำคัญไม่

ตอบคำถามของน้อง พี่ให้คำแนะนำว่า ควรจะดาวน์โหลดโปรแกรมมาลองวาดด้วยตัวเอง ซึ่งที่แนะนำคือโปรแกรมที่ชื่อว่า Fxgraph จากเว็บ Efofex หรือ ใช้โปรแกรม winplot ซึ่งเป็น freeware รายละเอียดอ่านได้จาก การใช้งาน winplot

ดังนั้นที่พี่คาดหวังต่อไปก็คือ น้องไปดาวน์โหลดและลองวาดด้วยตัวเอง ซึ่งหากพยายามด้วยตัวเองในการวาดแล้ว ทำไม่ได้ ก็กลับมาถามต่อ อย่างไรก็ดี การดูจากกราฟนั้น เป็นการใช้เพียงสายตา ซึ่งเชื่อไม่ได้ 100% การพยายามคำนวณหรือเข้าใจการคำนวณ เป็นสิ่งที่ยั่งยืนกว่า

Note สำหรับคนที่เคยใช้โปรแกรม FXdraw 2 อยู่ ตอนนี้เวอร์ชัน 3 ออกใหม่ ไม่ถึงเดือนนะครับ ความสามารถยอดเยี่ยมกว่าเดิมเยอะเลย

[สิริกานต์]

ขอบคุณพี่มากเลยค่ะ เขียนกราฟได้แล้วค่ะและหาคำตอบได้แล้ว พอได้ตรงจุดนี้แล้ว แต่อาจารย์ก็ถามมาแล้วตอบไม่ได้ว่ามันมายังไง จากตรงนี้นะค่ะ
sinx - 3^n sin(x/3^n) = = -4[sin(x/3)^3 + 3sin(x/3^2)^3 +........] ตรงนี้เข้าใจค่ะว่ามายังไง
แต่งงตรงนี้ค่ะ แต่เนื่องจาก x>sinx ทุก 0<x<p/2 ดังนั้น
sinx - 3^n sin(x/3^n) > -(4x^3/3^3)[1+1/3^2 + 1/3^4 + ...+1/3^(3n-2)] คือไม่เข้าใจว่า จากความสัมพันธ์ = อยู่ดีๆ ทำไมพี่ทำเป็น > ได้ มันจัดรูปยังไงค่ะ จากที่หนูคิดนะ คือ ถ้า x>sinx แล้ว
x/3 > sin(x/3) แล้วจับกำลังสองทั้งสองข้าง ทำนองนี้มั้ยค่ะ


ที่อยากถามอีกคือ ที่พี่บอกว่า x > sinx สำหรับในช่วง 0<x<p/2 สมมติว่า ให้ x = 1.7 ดังนั้นจะได้ 1.7 > sin1.7= 0.99166481 ซึ่งเป็นจริง แต่ 1.7 ไม่ได้อยู่ในช่วงของ 0<x<p/2 ดังนั้นมันก็เป็นจริงสำหรับค่า x ที่ อยู่นอกช่วงที่กำหนดด้วย
สำหรับ 0 เป็นช่วงเปิดก็ถูกต้องแล้ว แต่ p/2 มันจริงสำหรับ x > sinx ไม่ใช่หรือค่ะ ดังนั้นมันก็ต้องเป็นช่วงปิดสิค่ะ (รึเปล่า......มั้ง ) สัมนาที่ทำอยู่มันได้มีข้อตกลงไว้แล้วว่า x เป็นค่าบวกน้อยๆ
ดังนั้น ถ้าเราจะบอกว่า สำหรับ x ที่บวกน้อยๆ แล้ว ในการจะพิจารณาว่า x > sinx เป็นจริง เราจะพิจารณา วงกลมใน จตุภาคที่ 1 ซึ่งก็คือ ช่วง 0ถึงp แล้วก็พิจารณาวงกลมตามที่พี่บอกไว้ก่อนหน้านี้
ดีกว่าที่จะมากำหนดช่วงของ อสมการ x > sinx ในช่วง 0<x<p/2 มั้ยค่ะ ปล.โปรแกรมเขียนกราฟของพี่ ดีมากเลยค่ะ ตอนแรกหนูใช้ mathematica แต่ของพี่ดีกว่า ไม่สงวนลิขสิทธ์นะถ้าเอาไปบอกเพื่อนต่อ เพราะเพื่อนก็ทำสัมนาเหมือนกันค่ะ ตอบมาด้วยนะค่ะ เพราะเหลือตรงที่ถามนี้ก็จะผ่านแล้วววว

[gon]

สมการข้างบนตรงใต้ผลบวกของสมการต่าง ๆรวมกัน พิมพ์ผิดตัวนึง แก้แล้ว

$x > \sin x \Rightarrow (\frac{x}{3})^3 > \sin^3 \frac{x}{3} \Rightarrow -\frac{4x^3}{3^3} < -4\sin^3 \frac{x}{3} \Rightarrow -4\sin^3 \frac{x}{3} > -\frac{4x^3}{3^3} \quad \cdots (1)$

$x > \sin x \Rightarrow (\frac{x}{3^2})^3 > \sin^3 \frac{x}{3^2} \Rightarrow -\frac{4x^3}{3^6} < -4\sin^3 \frac{x}{3^2} \Rightarrow -4(3) \sin^3 \frac{x}{3^2} > -\frac{4x^3}{3^5} \quad \cdots (2)$

$x > \sin x \Rightarrow (\frac{x}{3^3})^3 > \sin^3 \frac{x}{3^3} \Rightarrow -\frac{4x^3}{3^9} < -4\sin^3 \frac{x}{3^3} \Rightarrow -4(3^2) \sin^3 \frac{x}{3^3} > -\frac{4x^3}{3^7} \quad \cdots (3)$

$\vdots$

$x > \sin x \Rightarrow (\frac{x}{3^n})^3 > \sin^3 \frac{x}{3^n} \Rightarrow -\frac{4x^3}{3^{3n}} < -4\sin^3 \frac{x}{3^n} \Rightarrow -4(3^{n-1})\sin^3 \frac{x}{3^n} > -\frac{4x^3}{3^{2n + 1}} \quad \cdots (n)$

$(1) + (2) + \cdots + (n)$

$-4(\sin^3 \frac{x}{3} + 3 \sin^3 \frac{x}{3^2} + 3^2 \sin^3 \frac{x}{3^3} + \cdots +3^{n-1}\sin^3 \frac{x}{3^n}) > -\frac{4x^3}{3^3}(1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^{2n-2}}) $


แต่ $ \sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} = -4(\sin^3 \frac{x}{3} + 3\sin^3 \frac{x}{3^2} + 3^2\sin^3 \frac{x}{3^3} + \cdots + 3^{n-1} \sin^3 \frac{x}{3^n})$

จึงถ่ายทอด ($ a > b , b > c \Rightarrow a > c$) ได้เป็น

$ \sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} > -\frac{4x^3}{3^3}(1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^{2n-2}})$

แค่นี้ก่อนนะครับ... พิมพ์เยอะแล้วเหนื่อย