โจทย์ยาก โควตา มช

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\{0,1,\cdots,99\},B=\{100,101,\cdots,199\}}$

และนิยาม $\displaystyle{A*B=\{ab|a\in A,b\in B\}}$

จงหาค่าของ $n(A*B)$

2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ลู่เข้าเพราะอะไรครับ

3.

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\{0,1,\cdots,99\},B=\{100,101,\cdots,199\}}$

และนิยาม $\displaystyle{A*B=\{ab|a\in A,b\in B\}}$

จงหาค่าของ $n(A*B)$

คำตอบ

ตอบ 6225

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ลู่เข้าเพราะอะไรครับ

n = 0 ได้เหรอครับ

Proof

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1250

http://luryuan.blogspot.com/p/alternating-series-1.html

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ลู่เข้าเพราะอะไรครับ

ข้อนี้ไม่น่าจะเรียกว่าโจทย์ยากนะครับ เรียกว่าโจทย์เกินหลักสูตรจะเหมาะกว่า

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ไม่น่าจะเรียกว่าโจทย์ยากนะครับ เรียกว่าโจทย์เกินหลักสูตรจะเหมาะกว่า

มีวิธีทำที่ไม่เกินหลักสูตรอยู่ครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

มีวิธีทำที่ไม่เกินหลักสูตรอยู่ครับ

ขอ Hint ข้อสอง หน่อยครับพี่
ละข้อแรกมีวิธีนับเจ๋งๆมั้ยครับ

[Thgx0312555]

$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}$

อีกข้อไม่รู้เหมือนกันครับ

[nooonuii]

เอ...ผมเข้าใจว่า

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \neq \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}
$$

นะครับ ผมเข้าใจอะไรผิดไปรึเปล่า เริ่มไม่แน่ใจ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เอ...ผมเข้าใจว่า

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \neq \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}
$$

นะครับ ผมเข้าใจอะไรผิดไปรึเปล่า เริ่มไม่แน่ใจ

เข้าใจถูกแล้วครับ อันที่จริงได้มากกว่านั้นด้วย

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} < \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}
$$

ถ้าแค่ระดับม.ปลายคงทำได้ถึงแค่นี้ คือพิสูจน์ว่ามี bound แต่ลืมไปว่ามากกว่านั้นคงเป็นระดับมหาลัยแล้วแหละครับ
เพิ่มนิดนึงถ้าใช้ squeeze นับว่าเป็นระดับมหาลัยมั้้ยครับ
$\displaystyle \dfrac{1}{1 \cdot 2}+\dfrac{1}{3 \cdot 4}+\cdots + \dfrac{1}{(2n-1)2n}<\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} < 1-\dfrac{1}{2\cdot 3}-\dfrac{1}{4\cdot 5}-\cdots-\dfrac{1}{2n(2n+1)}$

[กิตติ]

อยากเห็นวิธีทำข้อแรกแบบไม่ใช้โปรแกรมคิดครับ
น่าจะเป็นข้อสอบปี 52 หรือ 53 ครับ

[tngngoapm]

การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อาศัยองค์ประกอบ3ส่วนดังนี้
1) ระเบียบวิธี คือ การเรียบเรียงลำดับขั้นตอน,จินตนาการ,ความเข้าใจในการใช้องค์ความรู้ หลักการ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ต่างๆที่มีอยู่มาใช้แก้ปัญหา
2) ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีอยู่มากมายในองค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์
3) เครื่องมือ คือ อุปกรณ์ เครื่องบันทึกข้อมูล เครื่องคำนวณและประมวลผล เช่น ดินสอ ปากกา กระดาษ เครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ เป็นต้น
.....โจทย์คณิตศาสตร์โดยทั่วไปบางโจทย์ก็ใช้แค่สูตรไม่กี่สูตร ทฤษฎีสำคัญ 1-2 ทฤษฎี เช่นถ้าเป็นโจทย์เรขาคณิตก็ใช้ทฤษฎีบทปิทากอรัส , หรือถ้าเป็นโจทย์พีชคณิตก็อาจใช้ทฤษฎีจำนวน เป็นต้น ก็สามารถหาคำตอยออกมาได้
.....โจทย์คณิตศาสตร์โดยทั่วไปบางโจทย์ก็ต้องใช้ทั้งระเบียบวิธีมาเรียงร้อยทฤษฎีต่างๆเข้าด้วยกันคือต้องใช้ความพยายามความอดทนใช้เวลา มาก ถึงจะสามารถหาคำตอบออกมาได้
.....ปัญหาคณิตศาสตร์บางปัญหาก็ต้องใช้ทั้งระเบียบวิธี ทฤษฎีที่มีอยู่เดิม และยังต้องใช้เครื่องมืออื่นๆมาช่วยในการคิดคำนวณวิเคราะห์หาคำตอบ ถึงจะคาดการณ์หาคำตอบออกมาได้
+++++สำหรับปัญหาข้อนี้++++++

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\{0,1,\cdots,99\},B=\{100,101,\cdots,199\}}$

และนิยาม $\displaystyle{A*B=\{ab|a\in A,b\in B\}}$

จงหาค่าของ $n(A*B)$

.......ผมขอนำเสนอระเบียบวิธีหนึ่งที่จะใช้หาคำตอบดังนี้
อันดับแรกเซต $A=\left\{0,1,2,...,99\right\} $ ตัด $0$ ออกไปก่อนเหลือ $A=\left\{1,2,...,99\right\} $ ส่วนเซต $B=\left\{100,101,...,199\right\} $ เหมือนเดิม เมื่อนำ2จำนวนมาคูณกันจำนวนหนึ่งมาจากเซต$A$ อีกจำนวนมาจากเซต $B$
รูปแบบการคูณ $ab$ โดยที่ $a\in A,b\in B$จะมีทั้งหมด $99\times 100=9900$ คู่ ตามข้อคาดการณ์ของผมจะสามารถจัดรูปแบบทั้ง $9900$ คู่ได้เป็น 3 กลุ่ม คือ
กลุ่มที่ 1........ผลคูณไม่ซ้ำกับคู่ไหนเลย เช่น $3\times 101=303$ ผลคูณที่ได้ $303$ จะมีเพียงคู่ของ $3\times 101$ เพียงคู่เดียวไม่ซ้ำกับคู่อื่นๆเลย เป็นต้น
กลุ่มที่ 2........ผลคูณซ้ำกัน 2 คู่เท่านั้น เช่น $3\times 100=2\times 150=300$ เป็นต้น
กลุ่มที่ 3........ผลคูณซ้ำกัน 3 คู่ เช่น $26\times 100=25\times 104=20\times 130=2600$ เป็นต้น
.........เริ่มวิธีทำ
ในจำนวน 9900 คู่ เราจะต้องวิเคราะห์ว่ากลุ่ม 1 มีกี่คู่ ,กลุ่ม 2 มีกี่คู่ และกลุ่ม 3 มีกี่คู่ แล้ว
$$จำนวนผลคูณที่แตกต่างกัน=(จำนวนคู่ในกลุ่ม 1)+\frac{(จำนวนคู่ในกลุ่ม 2)}{2} +\frac{(จำนวนคู่ในกลุ่ม 3)}{3} $$
.........การพิจารณาว่ากลุ่ม 1 มีกี่คู่ ,กลุ่ม 2 มีกี่คู่ และกลุ่ม 3 มีกี่คู่?
พิจารณาสมาชิกของเซต $B$ ทีละตัว เริ่มจาก $100$ แล้วพิจารณาว่า $a$ ตั้งแต่ $1-99$ผลคูณ $a\times 100$คู่ไหนอยู่กลุ่มไหนดังนี้
$$จำนวนที่หาร 100 ลงตัว มี 1,2,4,5,10,20,25,50,100$$
ตัวประกอบ$1$และ$100$ไม่ต้องนำมาคิด
เริ่มที่1.ตัวประกอบ $2$ หาเลขที่คูณกับ $2$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 2a\leqslant 199\Rightarrow 50\leqslant a\leqslant 99\Rightarrow a=50\rightarrow 99$ แต่ตัด $50$ออกไปเพราะมันคูณกับ $2$ได้$100$....
สรุป $a=51\rightarrow 99$
2.ตัวประกอบ $4$ หาเลขที่คูณกับ $4$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 4a\leqslant 199\Rightarrow 25\leqslant a\leqslant 49\Rightarrow a=25\rightarrow 49$ แต่ตัด $25$ออกไปเพราะมันคูณกับ $4$ได้$100$....
สรุป $a=26\rightarrow 49$
3.ตัวประกอบ $5$ หาเลขที่คูณกับ $5$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 5a\leqslant 199\Rightarrow 20\leqslant a\leqslant 39\Rightarrow a=20\rightarrow 39$ แต่ตัด $20$ออกไปเพราะมันคูณกับ $5$ได้$100$....
สรุป $a=21\rightarrow 39$
4.ตัวประกอบ $10$ หาเลขที่คูณกับ $10$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 10a\leqslant 199\Rightarrow 10\leqslant a\leqslant 19\Rightarrow a=10\rightarrow 19$ แต่ตัด $10$ออกไปเพราะมันคูณกับ $10$ได้$100$....
สรุป $a=11\rightarrow 19$
5.ตัวประกอบ $20$ หาเลขที่คูณกับ $20$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 20a\leqslant 199\Rightarrow 5\leqslant a\leqslant 9\Rightarrow a=5\rightarrow 9$ แต่ตัด $5$ออกไปเพราะมันคูณกับ $20$ได้$100$....
สรุป $x=6\rightarrow 9$
6.ตัวประกอบ $25$ หาเลขที่คูณกับ $25$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 25a\leqslant 199\Rightarrow 4\leqslant a\leqslant 7\Rightarrow a=4\rightarrow 7$ แต่ตัด $4$ออกไปเพราะมันคูณกับ $25$ได้$100$....
สรุป $a=5\rightarrow 7$
7.ตัวประกอบ $50$ หาเลขที่คูณกับ $50$แล้วมีสมบัติดังนี้ $100\leqslant 50a\leqslant 199\Rightarrow 2\leqslant a\leqslant 3\Rightarrow a=2\rightarrow 3$ แต่ตัด $2$ออกไปเพราะมันคูณกับ $50$ได้$100$....
สรุป $a=3$
.......จะได้ว่าค่า
$$a=1\rightarrow 99ที่ไม่มีในค่าข้างบนคือ a=1,2,4,10,20,50 ...ค่า aเหล่านี้จะให้ผลคูณอยู่ในกลุ่ม1$$
$$a=1\rightarrow 99ที่มีซ้ำกันในค่าข้างบนคือ a=6-7,26-39 ...ค่า aเหล่านี้จะให้ผลคูณอยู่ในกลุ่ม3$$
$$ค่า a=1\rightarrow 99นอกจากนั้นคือ a=3,5,8-9,11-19,21-25,40-49,51-99...ค่า aเหล่านี้จะให้ผลคูณอยู่ในกลุ่ม2$$
สรุปกรณีที่ $b=100 และค่า a=1\rightarrow 99จะให้ผลคูณอยู่ในกลุ่ม1=6คู่......กลุ่ม 2=77 คู่....กลุ่ม3=16 คู่$..........
หลังจากนั้นก็เริ่มกระบวนการใหม่คือ $b=101 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ค่า a=1\rightarrow 99 จะให้ผลคูณแตกต่างกันทั้งหมด...คือจัดอยู่ในกลุ่ม 1 ทั้ง 99 คู่$
.......แล้ว $b=102 ซึ่งเป็นจำนวนประกอบก็ทำกระบวนการเหมือน b=100 ครับ$
.....โจทย์ข้อนี้ดูยังไงก็เป็นโจทย์ที่น่าจะต้องใช้เครื่องคำนวณเช่นโปรแกรมคอมพิวเตอร์มาช่วยคิดนะครับเพราะจำนวนตั้งแต่ 100 ถึง 199 ดูแล้วน่าจะมีจำนวนตัวประกอบเป็นลักษณะเฉพาะทำให้ต้องคิดทุกจำนวน

[share]

อย่าคิดว่ามีเจตนาอันไม่สมควรนะครับ

ขอถามหน่อยครับ
๑) ข้อสอบมีกี่ข้อ
๒) แต่ละข้อ แต่ละท่านที่เข้ามาแสดงความเห็น
คิดว่าใช้เวลาเท่าใด
๓) เวลาที่ให้ เหมาะสมไหม
หรือต้องไป กวดวิชา จึงจะเสร็จทันได้

เคารพรักครับ