การหาตำตอบของสมการเวียนเกิด

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ผมยังงงๆ อยู่อ่ะครับ คือสมมุติเขาให้

$x_n=ax_{n-1}+bx_{n-2}$ แล้วเราจะหาได้อย่างไร

ที่ผมอ่านมาคือเขาบอกว่า ลำดับนี้มีคำตอบเป็น geometric sequence $\left\{\,r^n\right\}$ แล้วเขาสมมุติให้

$x_n=r^n$ ทำไมถึงทำได้อ่ะครับ ??

[nooonuii]

คงต้องใช้ความรู้จากพีชคณิตเชิงเส้นอีกมากโขในการอธิบายที่มาของสิ่งนี้ครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

อ่อขอบคุณครับ แล้วพอจะศึกษาได้จากไหนหรอครับ

[nooonuii]

ถ้าให้ตอบแบบกำปั้นทุบดินก็คือ เดาครับ ว่าคำตอบจะเป็น $x_n=r^n$ (แต่มันมีที่มานะ)

แต่สิ่งสำคัญไม่ได้อยู่ที่ว่าเดายังไง มันอยู่ที่เมื่อเดาแล้วทำไมรู้ว่าคำตอบทั้งหมดต้องอยู่ในรูป

$x_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n$ เท่านั้นสำหรับกรณีรากไม่ซ้ำ และมีอีกสองกรณีตามมาอีก

อันนี้ต้องใช้ความรู้จากวิชาพีชคณิตเชิงเส้น เกี่ยวกับความเป็นอิสระเชิงเส้นของฟังก์ชันมาอธิบายครับ

จริงๆแล้วมีวิธีพิสูจน์อีกแนวทางหนึ่งซึ่งใช้ความรู้เกี่ยวกับ matrix มาอธิบายแต่ก็ยังต้องใช้ความรู้พีชคณิตเชิงเส้นระดับสูงครับ