เก็บตก สมการสำหรับ ม.ต้น

[กิตติ]

$ \sqrt{x+3+4\sqrt{x-1} }+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1} } = 5$

ข้อนี้ผมคิดได้ว่าทุกค่า$x$ที่มากกว่าหรือเท่ากับ$1$...เป็นคำตอบได้หมด
แก้ตามแบบวิธีบ้านๆแล้วกัน
$ \sqrt{x+3+4\sqrt{x-1} }+ = 5-\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1} }$
$x+3+4\sqrt{x-1} = 25-10\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}+[x+8-6\sqrt{x-1} ]$
$\sqrt{x-1}=3-\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$
$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=3-\sqrt{x-1}$
$x+8-6\sqrt{x-1}=9-6\sqrt{x-1}+[x-1]$
$x+8-6\sqrt{x-1}=x+8-6\sqrt{x-1}$
ดังนั้นค่า$x$ที่มากกว่าหรือเท่ากับ$1$เป็นคำตอบได้ทั้งหมด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathematicism

ข้อ 2
เนื่องจาก $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy} $
ดังนั้น $\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$
$ \sqrt{x+3+4\sqrt{x-1} }+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1} } = 5$
$\sqrt{x-1} +\sqrt{4} +\sqrt{x-1}+\sqrt{9}=5$
$2\sqrt{x-1}=0$
$x=1$

ข้อ 3 ก็เหมือนกันครับ

ทำไมวิธีนี้คำตอบหายไปตั้ง 2 คำตอบ

ควรได้แบบนี้ครับ

$\sqrt{x-1} +\sqrt{4} +|\sqrt{x-1}-\sqrt{9}|=5$

[Mathematicism]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ตรงนี้น่าจะเป็น.....$\sqrt{x-1} +\sqrt{4} +\sqrt{x-1}-\sqrt{9}=5$
$2\sqrt{x-1}-1=5$
$\sqrt{x-1}=3$
$x-1=9$
$x=10$

ขอบคุณครับ
ใส่เครื่องหมายผิดไป

ขอบคุณคุณ noonuii ด้วยครับ
แต่สงสัยว่าทำไมจึงใส่ absolute เฉพาะก้อนหลังล่ะครับ
เป็นเพราะเครื่องหมายลบหน้ารูท 9 รึปล่าว

[กิตติ]

ผมคิดว่าการใส่เครื่องหมายabsolute เพราะเรายังไม่รู้ว่าระหว่าง$x-1$กับ 9 ค่าไหนมากกว่ากัน เนื่องจากการถอดรูท
เรานำเฉพาะค่าบวกมาใช้.
ผมจำได้ว่า อาจารย์คณิตศาสตร์สมัยเมื่อ20ปีก่อนสอนว่า สมการที่มีรูทให้จับยกกำลังสองให้หมดแล้วค่อยร่อนคำตอบที่ใช้ได้

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\sqrt{x-1} +\sqrt{4} +|\sqrt{x-1}-\sqrt{9}|=5$

ถ้าเราแก้สมการนี้จะได้ว่า
1.เมื่อ$1\leqslant x<10,|\sqrt{x-1}-\sqrt{9}|=\sqrt{9}-\sqrt{x-1}$
สมการจะเป็น
$\sqrt{4}+\sqrt{9}=5$
คือ ค่า$x$ที่อยู่ระหว่างช่วงนี้ทั้งหมดทำให้สมการนี้เป็นจริง
2.เมื่อ$x\geqslant 10,|\sqrt{x-1}-\sqrt{9}|=\sqrt{x-1}-\sqrt{9}$
จะได้สมการเป็น$\sqrt{x-1}=3$
ได้ค่า$x$ที่สอดคล้องกับสมการค่าเดียวคือ 10
ดังนั้นคำตอบน่าจะเขียนได้เป็น $1\leqslant x\leqslant 10$....ไม่รู้ว่าผมจะเข้าใจถูกไหม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้ผมคิดได้ว่าทุกค่า$x$ที่มากกว่าหรือเท่ากับ$1$...เป็นคำตอบได้หมด
แก้ตามแบบวิธีบ้านๆแล้วกัน
$ \sqrt{x+3+4\sqrt{x-1} }+ = 5-\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1} }$
$x+3+4\sqrt{x-1} = 25-10\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}+[x+8-6\sqrt{x-1} ]$
$\sqrt{x-1}=3-\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$
$\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=3-\sqrt{x-1}$
$x+8-6\sqrt{x-1}=9-6\sqrt{x-1}+[x-1]$
$x+8-6\sqrt{x-1}=x+8-6\sqrt{x-1}$
ดังนั้นค่า$x$ที่มากกว่าหรือเท่ากับ$1$เป็นคำตอบได้ทั้งหมด

การแก้สมการโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างส่วนใหญ่จะให้คำตอบเกินมาครับ

ถ้ามองคร่าวๆว่า เมื่อ $x$ มีค่ามากๆ เทอม $\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1} }$ ก็จะมีค่ามากตามไปด้วย

ซึ่งเป็นไปได้ที่ค่านี้จะเกิน $5$ แต่ข้างซ้ายของสมการเป็นจำนวนบวกที่ไม่เกิน $5$ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้คำตอบเป็น

จำนวนจริงทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $1$ จริงๆแล้วมันมีเงื่อนไขบังคับตรงส่วนสีแดงว่า

$3-\sqrt{x-1}\geq 0$

คำตอบจึงลดลงมาเหลือ $1\leq x\leq 10$

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณNOOONUII...ที่ช่วยชี้ให้เห็นหลุมพรางของการยกกำลังสองดะแบบที่ผมทำ.....

[XCapTaiNX]

ข้อ 3 ได้ $x = 2$ รึเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

ข้อ 3 ได้ $x = 2$ รึเปล่าครับ

ลองแทนค่า $ \ x \ $ ให้ผลของราก ถอดรากได้ดูครับ ยังได้อีกหลายตัว

$x \geqslant 2$



รอเซียนมาเฉลยวิธีทำแบบสวยๆ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งทุกหลักของ n เป็นเลขเดียวกัน ถ้า $3,27,81,243$ หาร n ลงตัว
แล้ว n ที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว เป็นจำนวนเต็มกี่หลัก

ขอ hint หน่อยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เงื่อนไขโจทย์บอกว่า $3^5|n$

แตุ่ถ้าเลขโดดของ $n$ เป็นจำนวนที่มี $3$ เป็นตัวประกอบเช่น $3,6,9$ เราสามารถลดจำนวนหลักลงมาได้อีก

รอSiren-Of-Stepมาทำต่อ Siren-Of-Step ก็ไม่มา

$\because \ \ 111 = 3\times 37$

$111,111 = 3\times7\times11\times13\times37$

$ 111,111,111 = 3^2\times37\times333667$

$111,111,111,111 = 3\times \ $ (หนึ่งกระจุก)

$111, 111, 111, 111, 111 = 3\times \ $ (หนึ่งกระจุก)

$111, 111, 111, 111, 111, 111 = 3^2\times \ $ (หนึ่งกระจุก)

$111,111,111,111,111,111,111,111,111 = 3^3\times \ $ (หนึ่งกระจุก)

$ 9 \times 111,111,111,111,111,111,111,111,111 = 9 \times 3^3\times \ $ (หนึ่งกระจุก)

$999,999,999,999,999,999,999,999,999 = 3^5 \times \ $ (หนึ่งกระจุก)




$n = 999,999,999,999,999,999,999,999,999 $

n มี 27 หลัก

[banker]

เก็บตก สมการสำหรับ ม.ต้น

ม.ต้น ?

ผมว่า ม.ปลาย ก็ยังหืดขึ้นคอ

[Siren-Of-Step]

เพิ่งกลับมาจาก ที่เรียนพิเศษครับ ขอโทษด้วยจริง ๆ ยังไงก็ขอขอบคุณ อา กับ ท่าน nooonuii ด้วยนะครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ลองแทนค่า $ \ x \ $ ให้ผลของราก ถอดรากได้ดูครับ ยังได้อีกหลายตัว

$x \geqslant 2$



รอเซียนมาเฉลยวิธีทำแบบสวยๆ

แนวคิดเดียว กับท่าน nooonuii ให้ $\sqrt{x-1}=t , x-1=t^2 , x = t^2+1$
$\sqrt{t^2+2t+1} - \sqrt{t^2-2t+1} = 2$
$t+1 - \left|\,\right. t-1\left.\,\right| = 2$
$t-1 = \left|\,\right. t-1\left.\,\right| $

เพราะฉะนั้น $t-1 \geqslant 0 , t \geqslant 1$
จะได้ $\sqrt{x-1} \geqslant 1 , x \geqslant 2 $

[กิตติ]

$\sqrt{t^2+2t+1} - \sqrt{t^2-2t+1} = 2$
จาก$\sqrt{x^2}=\left|\,x\right| $.....จะได้ว่าเป็น
$\sqrt{(t+1)^2}- \sqrt{(t-1)^2} = 2$
$\left|\,t+1\right|-\left|\,t-1\right| =2 $
เนื่องจาก$\sqrt{x-1}=t \rightarrow t\geqslant 0$
$\left|\,t+1\right|= t+1 , t\geqslant -1$ เนื่องจาก $t\geqslant 0$ ดังนั้น$\left|\,t+1\right|= t+1$
$\left|\,t-1\right|= t-1 ,t\geqslant 1$
$\left|\,t-1\right|= -(t-1) ,t< 1$
แยกเป็น
1.$t\geqslant 1$
$(t+1)-(t-1)=2$....แสดงว่าที่ค่า$t\geqslant 1$ ทำให้สมการเป็นจริง กลับไปหาค่า$x$
$\sqrt{x-1}=t \geqslant 1 \rightarrow x\geqslant2$
2.$0\leqslant t<1$
$(t+1)-(-(t-1)) = 2t = 2 \rightarrow t=1$ ซึ่งค่า$t$ที่หาได้อยู่นอกขอบเขตที่กำหนด
ดังนั้นจึงสรุปว่า$x\geqslant2$

[กิตติ]

ลองมาทำแบบยกกำลังสองดะดูครับว่า มันได้คำตอบอะไร
$ \sqrt{x+2\sqrt{x-1} }-\sqrt{x-2\sqrt{x-1} } = 2$
$ \sqrt{x+2\sqrt{x-1} } = 2+\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }$
$x+2\sqrt{x-1} =4+4\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }+x-2\sqrt{x-1} $
$2\sqrt{x-1}-2=\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }$......สมการตรงนี้เขียนผิด
$4x-4+4-8\sqrt{x-1}=x-2\sqrt{x-1} $
$x=2\sqrt{x-1}$
$x^2=4(x-1)$
$x^2-4x+4=0$
$(x-2)^2=0$
$x=2$...ลองแทนค่ากลับก็ใช้ได้

ลองให้$x=10$....$ \sqrt{10+2\sqrt{10-1} }-\sqrt{10-2\sqrt{10-1} } = \sqrt{16}-\sqrt{4} =2 $
หาค่าจากการแก้สมการด้วยการยกกำลังสองได้คำตอบเดียว แต่ทำไม$x=10$ก็ทำให้สมการเป็นจริงด้วย....
การแก้สมการติดรูทด้วยการยกกำลังสองคงต้องระวัง

แก้ใหม่ $\sqrt{x-1}-1=\sqrt{x-2\sqrt{x-1} }$
$x-2\sqrt{x-1}=x-2\sqrt{x-1} $....เหมือนข้อก่อนที่เคยทำ
แต่อย่างที่คุณNOOONUIIบอกไว้คือ
$\sqrt{x-1}-1=\sqrt{x-2\sqrt{x-1} } \geqslant 0$....ได้ค่า$x\geqslant 2$