เกี่ยวกับค่า arc ต่างๆ

[MiNd169]

ผมอยากทราบว่า
1.$ arccot(A) + arccot(-A) = \pi$ เสมอหรือเปล่าีครับ

2.แล้ว $ arctan(A) + arctan(-A) = \pi$ ด้วยไหมครับ(ผมมีความรู้สึกว่าน่าจะเท่ากับ 0)


เดี๋ยวมีคำถามเกี่ยวกับค่า arc อื่นๆตามมา

ขอบคุณครับ

[Thgx0312555]

เอา arctan ก่อนนะครับ ให้ $x = arctanA; tanx = A; -\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$
จะพบว่า
$-A=-tanx=tan(-x); -\dfrac{\pi}{2}<-x<\dfrac{\pi}{2}$
$-x = arctan(-A)$

ก็ได้ว่า $arctanA+arctan(-A)=0$ จริงครับ

ฟังก์ชัน arccot มี domain คือ $(0,\pi)$ (ถ้าจำไม่ผิด)

ให้ $x = arccotA; A = cotx ; 0<x<\pi$
$-A=-cotx=-tan(\dfrac{\pi}{2}-x)=tan(x-\dfrac{\pi}{2})=cot(\pi-x);; 0<\pi-x<\pi$
$\pi-x = arccot(-A)$

$\therefore arccotA+arccot(-A)=\pi$

Note: arctan, arccot เป็นฟังก์ชัน 1-1 นะครับ

[MiNd169]

ขอบคุณมากครับ ทีแรกผมคิดว่า $arccot$ จะมี domain ตาม $arctan$ ซะอีก

แล้วกรณี $arccsc$ กับ $arcsec$ domainมันตาม $arcsin$ กับ $arccos$ หรือเปล่าึีครับ

[gon]

เรนจ์ของฟังก์ชัน arccos คือ $[0, \pi]$ ในขณะที่เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsec ไม่มีข้อตกลงที่ชัดเจนว่าช่วงไหน

เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsin คือ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ในขณะที่เรนจ์ของฟังก์ชัน arccsc ไม่มีข้อตกลงที่ชัดเจนว่าช่วงไหน

หมายเหตุ อย่าสับสนระหว่างโดเมนกับเรนจ์ของฟังก์ชันผกผันนะครับ.

[MiNd169]

ในค่า arc ต่างๆ โดเมนกับเรนจ์คือค่าไหนหรอครับ ผมเริ่มสับสน

[gon]

ถ้า f(x) = arccos(x) แล้ว x ก็คือโดเมนของฟังก์ชัน arccos ซึ่งก็คือช่วงปิด [-1, 1] หมายความว่า

ถ้าเขียนเป็น arccos(0.5), arccos(1) แบบนี้หาค่าได้ และได้เป็นค่าที่อยู่ในช่วงปิด $[0, \pi]$ เสมอ ซึ่งก็คือเรนจ์ของฟังก์ชัน arccos นั่นเอง เช่น arccos(0.5) = $\pi/3$

ในขณะถ้าเขียนมั่ว ๆ เป็น arccos(2) แบบนี้ก็หาไม่ได้

ที่คุณ Thgx0312555 เขียนไว้ด้านบนว่า "ฟังก์ชัน arccot มี domain คือ $(0, \pi)$ (ถ้าจำไม่ผิด)" นั้น

เป็นการเขียนสลับกัน ที่ถูกคือ "ฟังก์ชัน arccot มี range คือ $(0, \pi)$" ครับ.

[Metamorphosis]

ผมก็เคยถาม คุณ gon เรื่องนี้แหละครับ 55

ในนี้ อธิบายได้ทุกอย่าง http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse...tric_functions

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ถ้า f(x) = arccos(x) แล้ว x ก็คือโดเมนของฟังก์ชัน arccos ซึ่งก็คือช่วงปิด [-1, 1] หมายความว่า

ถ้าเขียนเป็น arccos(0.5), arccos(1) แบบนี้หาค่าได้ และได้เป็นค่าที่อยู่ในช่วงปิด $[0, \pi]$ เสมอ ซึ่งก็คือเรนจ์ของฟังก์ชัน arccos นั่นเอง เช่น arccos(0.5) = $\pi/3$

ในขณะถ้าเขียนมั่ว ๆ เป็น arccos(2) แบบนี้ก็หาไม่ได้

ที่คุณ Thgx0312555 เขียนไว้ด้านบนว่า "ฟังก์ชัน arccot มี domain คือ $(0, \pi)$ (ถ้าจำไม่ผิด)" นั้น

เป็นการเขียนสลับกัน ที่ถูกคือ "ฟังก์ชัน arccot มี range คือ $(0, \pi)$" ครับ.

อ่อ ขอบคุณมากครับ

เรนจ์ของมันที่จริืงสามารถกำหนด2ควอเตอร์ใดๆก็ได้ที่ติดกันแล้วมีค่าทั้งบวกและลบ แต่ที่เขากำหนดให้ใช้ใกล้ๆ0 เพราะมันจะคิดง่ายและสะดวกกว่า ผมเข้าใจถูกใช่ไหมครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

อ่อ ขอบคุณมากครับ

เรนจ์ของมันที่จริืงสามารถกำหนด2ควอเตอร์ใดๆก็ได้ที่ติดกันแล้วมีค่าทั้งบวกและลบ แต่ที่เขากำหนดให้ใช้ใกล้ๆ0 เพราะมันจะคิดง่ายและสะดวกกว่า ผมเข้าใจถูกใช่ไหมครับ

จะคิดว่าอย่างนั้นก็ได้ครับ ตามหลักแล้วก็คือกำหนดให้เป็นฟังก์ชัน 1-1 ให้ได้

ซึ่งถ้ากำหนดช่วงใดแล้ว นำไปใช้ต่อแล้วมีคนใช้ตามเยอะ ก็จะเป็นข้อตกลงพื้นฐานเองในที่สุด

เราอาจจะไม่ต้องแสดงเองว่า กำหนดแบบนี้แล้วมีประโยชน์อย่างไร สมมติว่าถ้ามีคนอื่นที่แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงกับสูตรหรือเรื่องอื่น ๆ ว่าใกล้เคียงกัน ทำให้ดูเหมือนว่าคล้ายกันมาก ๆ ก็อาจจะเป็นที่นิยมใช้ต่อไปได้ครับ