Fundamental Theorem of Calculus .... Not!!!

[aaaa]

วันนี้ไปเรียนวิชา PDE มา เจอปัญหา Calculus พื้นฐานที่น่าสนใจ เลยเอามาถามเพื่อนๆ

จงหา \[ \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}dy \]

(คำตอบไม่ใช่ \(e^{4x^2} \))

หมายเหตุ โดยทั่วไป
\[
\frac{d}{dx}\int_a^{x}G(x,y)dy\neq G(x,x)
\]

[gon]

ใช่แบบนี้หรือเปล่าครับ. ขอเดา
\[ \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}dy = \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}d(x +y) = e^{x^2}\]

[aaaa]

ยังไม่ใช่ครับ
คือ Fundamental Theorem of Calculus เป็นดังนี้ครับ
ถ้า \(G:[a,b]\to\mathbb{R} \) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะได้ว่า
\[
\frac{d}{dx}\int_a^x G(y)\;\!dy=G(x)
\]

[aaaa]

ขออภัย

[gon]

ผมก็พยายามเดา ๆ ไปทางนั้นล่ะครับ. เดี๋ยวจะลองอีกทีว่าจะไปทางไหนดี

[warut]

นานน้านจะมีคำถามจากคุณ aaaa ที่ผมพอจะรู้เรื่องบ้าง อย่างนี้คงต้องขอลองสักตั้ง

ให้ \(F\left(y\right)\) เป็น antiderivative (อันหนึ่ง) ของ \(e^{y^2}\) นั่นคือ \(F'\left(y\right)=e^{y^2}\) ดังนั้น
\[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+y\right)^2}\,dy=\frac{d}{dx}\left(\left[F\left(x+y\right)\right]_0^x\right)
=\frac{d}{dx}\left(F\left(2x\right)-F\left(x\right)\right)\]
\[=2F'\left(2x\right)-F'\left(x\right)=2e^{4x^2}-e^{x^2}\]

[aaaa]

เยี่ยมครับคุณ warut เป็นวิธีที่นักเรียนซึ่งเรียน Calculus ต้องเข้าใจให้ละเอียดครับ แต่วิธีของคุณ warut ยังไม่ถูก 100% นะครับ
ลองมามองในมุมของ analysis บ้างครับ
พิจารณา
\[
\frac{d}{dx}\int_a^xG(x,y)\;\!dy=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1}{\Delta x}\left\{\int_a^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^xG(x,y)\;\!dy\right\}
\]
แยกเทอมในวงเล็บเป็น
\[
\left\{\int_a^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^{x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy\right\}+\left\{\int_a^{x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^xG(x,y)\;\!dy\right\}
=\int_x^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy+\int_a^{x}\{G(x+\Delta x,y)-G(x,y)\}\;\!dy
\]
เมื่อ หารด้วย \( \Delta x \) และให้ \( \Delta x\to0 \) จะได้
\[
G(x,x)+\int_a^x\frac{\partial}{\partial x}G(x,y)\;\!dy
\]

[warut]

อ้าว...ผิดตรงไหนเหรอครับ คุณ aaaa ช่วยชี้แนะด้วย

ระหว่างที่รอคุณ aaaa นี้ ผมขอเพิ่มเติมให้กับผู้ที่สนใจอีกนิดนึงนะครับว่าสูตรที่คุณ aaaa แสดง
การพิสูจน์ไว้ข้างต้นนั้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรการ "differentiation under the integral sign"
ซึ่งตัวสูตรเต็มๆนั้นมีชื่อเรียกว่า... ใครตอบได้รีบมาตอบเร้ว

[aaaa]

ถ้าลองเปลี่ยนโจทย์นิดนึงคือตัวอินทิแกรนด์เท่ากับ \( e^{(x+2y)^2} \) แล้วทำแบบเดียวกับคุณ warut น่าจะได้
\[
\frac{d}{dx}F(x+2y)\Big|_0^x=3e^{9x^2}-e^{x^2}
\]
ซึ่งเมื่อเทียบกับผลลัพธ์ตามสูตรของผม จะได้ไม่เท่ากันครับ

PS. ผมไม่แน่ใจว่าสูตรข้างบนนี้มีชื่อเรียกหรือเปล่านะครับ แต่ตามที่เข้าใจการทำ Differentiation under the Integral sign คืออย่างนี้ครับ
\[
\frac{d}{dx}\int_a^bG(x,y)\;\!dy=\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}G(x,y)\;\!dy
\]
ซึ่งเป็นจริงถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Uniform Continuous บนช่วงปิด \( [a,b] \)

[M@gpie]

กฏของไลบ์นิซต์สำหรับการหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล คร้าบบบบ
มีสูตรสำเร็จดังนี้
\[ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy =\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy +f(x,b(x)) \frac{d}{dx}b(x) -f(x,a(x)) \frac{d}{dx}a(x)\]

[warut]

ถ้าทำอย่างของผมจะเป็นแบบนี้ครับ

ถ้า \(F\left(y\right)\) เป็น antiderivative อันหนึ่งของ \(e^{y^2}\) แล้ว เราจะได้ว่า \(\frac{1}{2}F\left(x+2y\right)\)
เป็น antiderivative อันหนึ่งของ \(e^{\left(x+2y\right)^2}\) (ลอง differentiate เทียบกับ y กลับ
โดยมองว่า x เป็น constant นะครับ จะเห็นว่าถูกต้อง) ดังนั้น
\[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+2y\right)^2}\,dy=
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}F\left(x+2y\right)\right]_0^x\]
\[=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(F\left(3x\right)-F\left(x\right)\right)\]
\[=\frac{3}{2}F'\left(3x\right)-\frac{1}{2}F'\left(x\right)\]
\[=\frac{3}{2}e^{9x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}\]

ถ้าทำอย่างของคุณ aaaa จะเป็นแบบนี้ครับ

\[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+2y\right)^2}\,dy=e^{9x^2}+\int_0^x2\left(x+2y\right)e^{\left(x+2y\right)^2}\,dy\]
\[=e^{9x^2}+\left[\frac{1}{2}e^{\left(x+2y\right)^2}\right]_0^x\]
\[=\frac{3}{2}e^{9x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}\]
เช่นกันครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
กฏของไลบ์นิซต์สำหรับการหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล คร้าบบบบ

ถูกต้องนะคร้าบบบ...

หวัดดีคับ
ผมอ่านมาถึงหัวข้อนี้แล้วงงคับ
ตกลงว่าของใครถูกกันแน่
ของคุณ warut หรือ 4a กันแน่คับ
เพราะว่า ตอนที่คุณ 4a แย้งคุณ warut นั้น
ผมว่าผมก็เข้าใจไปแล้ว ช่วย
ลงรายละเอียดอีกทีคับ

[aaaa]

ของคุณ warut ฉบับแก้ไข ถูกต้องแล้วครับ คือตอนแรกผมไม่แน่ใจว่าคุณ warut จะคิดแบบที่ผมคิดหรือเปล่า เลยจงใจเปลี่ยนโจทย์