โจทย์กลางภาคมาเเล้ว !!!!!

[Suwiwat B]

$A,B,C \in R$ $A,B,C \in (0, \frac{\pi}{2} ) A+B+C = \frac{\pi}{2}$
$cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$
และ $tanB = sinAsinCcsc(A+C)$
จงหา $1. cotA : cotB : cotC$
$2. cotA + cotB + cotC$
$3. sin^2 (2A + B + 2C)$
สนุกดี ... ขอวิธีทำดีๆด้วยนะครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

$A,B,C \in R$ $A,B,C \in (0, \frac{\pi}{2} ) A+B+C = \frac{\pi}{2}$
$cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$
และ $tanB = sinAsinCcsc(A+C)$
จงหา $1. cotA : cotB : cotC$
$2. cotA + cotB + cotC$
$3. sin^2 (2A + B + 2C)$
สนุกดี ... ขอวิธีทำดีๆด้วยนะครับ

จากสมการ $cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$

แทนสูตร $cos 2A = (1- tan^2A)(1+tan^2A) , cos 2B = (1-...$

จากนั้นจัดรูป จะได้ั tan A / tan B = 2

ดังนั้น cot B = 2cot A ...(1)

จากสมการ $tanB = \frac{sinAsinC}{sin(A+C)}$ แต่ A + C = $\pi/2 - B$

จะได้ $tan B = \frac{sinAsinC}{cos B}$

ดังนั้น sin B = sin A sin C

แต่ B = $\pi/2$ - (A + C)

ดังนั้น sin B = cos(A + C) = cos A cos C - sin A sin C

sin A sin C = cos A cos C - sin A sin C

cot A cot C = 2

cot C = 2/cot A ... (2)

จาก B + C = $\pi/2 - A$

ดังนั้น tan(B + C) = cot A

$\frac{cot B + cot C}{cot B cot C - 1} = cot A$

แทนค่าจากสมการ (1), (2) แก้สมการจะได้ cot A = $\sqrt{2}$

ดังนั้น cot B = $2\sqrt{2}$ , cot C = $\sqrt{2}$

ค่าต่าง ๆ ในตัวเลือกก็หาำได้ไม่ยากครับ.

(ข้อ 3. $sin^2(2A + B + 2C) = sin^22B = 1/(1+cot^22B) = ...$

[กิตติ]

ช่วยดูหน่อยครับว่า
$cos2A=\dfrac{1-tan^2A}{1+tan^2A} $....หรือผมจำผิดครับ

$A+B+C=\frac{\pi }{2} \rightarrow 2A+2B+2C=\pi \rightarrow 2A+B+2C=\pi-B$

$sin^2(2A+B+2C)=sin^2(\pi-B) =sin^2B$....ตรงนี้ผมกำลังงงหรือเปล่าครับ

ผมกำลังง่วนหาคำตอบอยู่...หัวหมุนอยู่ มึนครับมึน

[PoSh]

$cos2A = \frac{1-tan^2A}{1+tan^2A} $ นิครับ

[PoSh]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

จากสมการ $cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$

แทนสูตร $cos 2A = (1- tan^2A)(1+tan^2A) , cos 2B = (1-...$

จากนั้นจัดรูป จะได้ั tan A / tan B = 2

ดังนั้น cot B = 2cot A ...(1)

จากสมการ $tanB = \frac{sinAsinC}{sin(A+C)}$ แต่ A + C = $\pi/2 - B$

จะได้ $tan B = \frac{sinAsinC}{cos B}$

ดังนั้น sin B = sin A sin C

แต่ B = $\pi/2$ - (A + C)

ดังนั้น sin B = cos(A + C) = cos A cos C - sin A sin C

sin A sin C = cos A cos C - sin A sin C

cot A cot C = 2

cot C = 2/cot A ... (2)

จาก B + C = $\pi/2 - A$

ดังนั้น tan(B + C) = cot A

$\frac{cot B + cot C}{cot B cot C - 1} = cot A$

แทนค่าจากสมการ (1), (2) แก้สมการจะได้ cot A = $\sqrt{2}$

ดังนั้น cot B = $2\sqrt{2}$ , cot C = $\sqrt{2}$

ค่าต่าง ๆ ในตัวเลือกก็หาำได้ไม่ยากครับ.

(ข้อ 3. $sin^2(2A + B + 2C) = sin^22B = 1/(1+cot^22B) = ...$

ยังไงเหรอครับผมงงๆ อ่ะครับ

[PoSh]

อ่อๆได้แล้วครัยต้องขอโทษด้วยยย

[กิตติ]

จากเอกลักษณ์ที่คุณสามดาวแนะไว้ให้ $cos2A=\dfrac{1-tan^2A}{1+tan^2A} $

$cotA=cot(\dfrac{\pi }{2} -(B+C)) = tan(B+C) =\dfrac{tanB+ tanC}{1-tanB\cdot tanC} =\dfrac{cotB+cotC}{cotB.cotC-1} $

จะได้$tanA=2tanB \rightarrow cotA=\dfrac{cotB}{2} $ และ $cotA.cotC=2$
จะได้ว่า$cotB.cotC=4$ แทนค่าได้$cotA=\dfrac{cotB+cotC}{3} \rightarrow cotB=2cotC $
ได้ค่า$cotA=\sqrt{2} =cotC , cotB=2\sqrt{2}$

$cotA:cotB:cotC= 1:2:1$
$cotA+cotB+cotC=4\sqrt{2}$
$sin^2(2A+B+2C)=sin^2(\pi-B) =sin^2B$
$cos2B=1-2sin^2B=\dfrac{1-tan^2B}{1+tan^2B}=\dfrac{cot^2B-1}{cot^2B+1} $
$1-2sin^2B=\dfrac{7}{9} \rightarrow sin^2B=\dfrac{1}{9} $

[★★★☆☆]

สูตรผมพิมพ์ตกเองครับ แต่ถ้าคนที่รู้สูตรดูก็รู้แล้วว่าพิมพ์ตก , ข้อย่อย 3 ผมก็คงเพี้ยนเองครับ

ส่วนวิธีแปลง tan เป็น cot ดูง่าย ๆ จาก $\tan(B + C) = \frac{\tan B + \tan C}{1- \tan B \tan C}$

ก็ให้นำ cot B cot C คูณเข้าไปในใจทั้งเศษและส่วน ก็จะได้สูตรของ cot ทันทีครับ.

[กิตติ]

ผมแก้ข้อนี้ได้ก็ด้วยเอกลักษณ์ที่คุณสามดาวแนะให้แหละครับ ลืมไปแล้วเหมือนกัน แค่แนะให้ก็ถือว่าชี้ทางให้เยอะแล้วครับ เหลือแต่เปิดประตูเอง จริงไหมครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมไม่แน่ใจว่าผมเริ่มผิดตรงไหนครับ
$cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$
$\frac{1-tan^2A}{1+tan^2A} = \frac{5cos2B - 3 }{5-3cos2B }$
$(1-tan^2A)(5-3cos2B)=(5cos2B-3)(1+tan^2A)$
$5-3cos2B-5tan^2A+3cos2Btan^2A=5cos2B+5cos2Btan^2A-3-3tan^2A)$
$8-8cos2B-2tan^2A-2cos2Btan^2A=0$
แล้วแยกตัวประกอบไม่ออกครับ

[กิตติ]

แทน$cos2B=\dfrac{1-tan^2B}{1+tan^2B} $ ด้วย

จะได้$tanA= 2tanB \rightarrow cotB=2cotA$

$cotC=\dfrac{2}{cotA} $

$cotA=\dfrac{cotB+cotC}{cotBcotC-1} $

แก้ได้ค่าตามที่คุณสามดาวเฉลยให้ครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

แก้ได้ค่าตามที่คุณสามดาวเฉลยให้ครับ

ของเขาห้าดาว ★★★☆☆

คุณกิตติไปลดดาวเขาได้ไง

[กิตติ]

ผมนับเฉพาะดาวที่ระบายสีแล้วครับ...ไม่ได้นับทั้งหมด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมนับเฉพาะดาวที่ระบายสีแล้วครับ...ไม่ได้นับทั้งหมด

สองดาวนั้นเขาก็ระบายสีขาว ไม่นับหรือครับ

[กิตติ]

ยอมครับป๋า....เป็นห้าดาว