ช่วยหน่อยครับ กำลังสองสมบูรณ์

[Euler-Fermat]

หา จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $(2000n+1)(2008n+1)$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Amankris]

เช็ค gcd สรุปอะไรบางอย่าง

จัดรูปอีกนิด

แล้วก็เทสตัวเลขอีกหน่อย

[banker]

$(2000n+1)(2008n+1) = m^2$

มาลองดู แต่ยังไปไม่ถูก เผื่อจุดไอเดียสำหรับบางคน

ให้ $ \ 2004n +1 = a \ $ จะได้

$2000n + 1 = a-4n$

$2008n + 1 = a+4n$

จะได้ $ \ (2000n+1)(2008n+1) = \ (a-4n)(a+4n) = m^2$

$a^2-16n^2 = m^2$

$(2004n +1)^2-16n^2 = m^2$

$4016016n^2+4008n+1-16n^2 = m^2$

$4016000n^2+4008n+1 = m^2$


ติดตรงนี้นานแล้ว ไปต่อไม่ถูก

เผื่อใครมีไอเดียเพิ่มเติม




หรือจะไปทางนี้

$(2004n +1)^2-16n^2 = m^2$

$(2004n +1)^2= m^2 +(4n)^2 \ \ \ \ \to \ $ยังกะปีธากอรัส สามเหลี่ยมมุมฉาก

หรือ
$(2004n +1)^2- m^2 = (4n)^2$


ชักมึน เดี๋ยวมาต่อใหม่


มาต่อจากบรรทัดปีธากอรัส ไม่รู้จะไปต่อได้ไหม

ถ้า $(2004n +1)^2= m^2 +(4n)^2 \ \ \ \ $ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ว่า

$m+4n > 2004n+1 \ \ $(ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมย่อมยาวกว่าด้านที่สาม)

$m > 2000n+1$


ไปต่อไม่ถูกอีก

[RT OSK]

ให้ $(2000n+1)(2008n+1)=k^2$
ได้ $2000\cdot 2008\cdot n^2+4008\cdot n=k^2-1=(k-1)(k+1)$
ให้ $m=k-1$ จะได้ $k+1=m+2$
$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=m(m+2)$
แต่ $2004\cdot n\not= \frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n$
จะได้$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=(m+2)m$
$\therefore 2004\cdot n=m+2$ และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2=m$
$2004\cdot n=(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)+2$
$2004^2n-2000\cdot 2008n=4(2004)$
$n=\frac{4(2004)}{2004^2-2000\cdot 2008}$
$=\frac{4(2004)}{2004^2-(2004-4)(2004+4)}$
$=\frac{4(2004)}{2004^2-(2004^2-4^2)}$
$=\frac{4(2004)}{16}=501$

แต่พิสูจน์? ว่าเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด
แล้ว n ค่าอื่นๆ หา?
เช่น n อาจจะอยู่ในรูป $3^a\times 167^b$
จาก Excel จะมีอีกคือ
$3^4\times 167^5$
$3^{21}\times 167^2$
$3^7\times 167^6$
$3^{32}\times 167$
$3^{41}$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

ให้ $(2000n+1)(2008n+1)=k^2$
ได้ $2000\cdot 2008\cdot n^2+4008\cdot n=k^2-1=(k-1)(k+1)$
ให้ $m=k-1$ จะได้ $k+1=m+2$
$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=m(m+2)$
แต่ $2004\cdot n\not= \frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n$
จะได้$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=(m+2)m$
$\therefore 2004\cdot n=m+2$ และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2=m$
$2004\cdot n=(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)+2$
$2004^2n-2000\cdot 2008n=4(2004)$
$n=\frac{4(2004)}{2004^2-2000\cdot 2008}$
$=\frac{4(2004)}{2004^2-(2004-4)(2004+4)}$
$=\frac{4(2004)}{2004^2-(2004^2-4^2)}$
$=\frac{4(2004)}{16}=501$

แต่พิสูจน์? ว่าเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด
แล้ว n ค่าอื่นๆ หา?
เช่น n อาจจะอยู่ในรูป $3^a\times 167^b$
จาก Excel จะมีอีกคือ
$3^4\times 167^5$
$3^{21}\times 167^2$
$3^7\times 167^6$
$3^{32}\times 167$
$3^{41}$

จะได้$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=(m+2)m$
$\therefore 2004\cdot n=m+2$ และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2=m$
ตรงนี้มันจำเป็นต้องเท่ากันหรอครับ มันอาจจะเป็นแบบนี้ ได้หรือ เปล่าครับเช่น
$(1)(8) = (2)(4) ; m = 2 $
$2 \not= 1$

[RT OSK]

เข้าใจประเด็นครับ

อธิบายได้ไม่ค่อยชัด
และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\approx 2003.9920$ ไม่รู้ช่วย?

$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=(m+2)m$
$\therefore 2004\cdot n=m+2$ และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2=m$
ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

แต่ถ้าเราสมมุติให้มันเท่ากัน
แล้ว หา $n$ ได้ตามสมมุติ
$n$ ที่ได้ ก็น่าจะเป็นคำตอบหนึ่งได้

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

เข้าใจประเด็นครับ

อธิบายได้ไม่ค่อยชัด
และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\approx 2003.9920$ ไม่รู้ช่วย?

$(2004\cdot n)(\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2)=(m+2)m$
$\therefore 2004\cdot n=m+2$ และ $\frac{2000\cdot 2008}{2004}\cdot n+2=m$
ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน

แต่ถ้าเราสมมุติให้มันเท่ากัน
แล้ว หา $n$ ได้ตามสมมุติ
$n$ ที่ได้ ก็น่าจะเป็นคำตอบหนึ่งได้

แล้วเราจะเช็คได้อย่างไรครับว่า มันจะ เป็น n ที่น้อยที่สุดครับ ผมงง กับมันมาก

[Pain 7th]

ผมมีทางออกครับ

$(2000n+1,2008n+1)=1$ ดังนั้น

$2000n+1=a^2$

$2008n+1=b^2$


$\dfrac{a^2-1}{b^2-1}= \dfrac{250}{251}$

$a^2= \dfrac{250b^2+1}{251}$

$8n=b^2-a^2=b^2-\dfrac{250b^2+1}{251}=\dfrac{b^2-1}{251}$

เนื่องจาก b เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $b=2x+1$

$n=\dfrac{x(x+1)}{502}$

ถ้า n น้อย x ต้องน้อยด้วย ดังนั้น $x=501$

n=501

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ผมมีทางออกครับ

$(2000n+1,2008n+1)=1$ ดังนั้น

$2000n+1=a^2$

$2008n+1=b^2$


$\dfrac{a^2-1}{b^2-1}= \dfrac{250}{251}$

$a^2= \dfrac{250b^2+1}{251}$

$8n=b^2-a^2=b^2-\dfrac{250b^2+1}{251}=\dfrac{b^2-1}{251}$

เนื่องจาก b เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $b=2x+1$

$n=\dfrac{x(x+1)}{502}$

ถ้า n น้อย x ต้องน้อยด้วย ดังนั้น $x=501$

n=501

โอ้วมันทำแบบนี้นี่เอง ผมคิดไม่ออกสักที

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ผมมีทางออกครับ

$(2000n+1,2008n+1)=1$ ดังนั้น

$2000n+1=a^2$

$2008n+1=b^2$


$\dfrac{a^2-1}{b^2-1}= \dfrac{250}{251}$

$a^2= \dfrac{250b^2+1}{251}$

$8n=b^2-a^2=b^2-\dfrac{250b^2+1}{251}=\dfrac{b^2-1}{251}$

เนื่องจาก b เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น $b=2x+1$

$n=\dfrac{x(x+1)}{502}$

ถ้า n น้อย x ต้องน้อยด้วย ดังนั้น $x=501$

n=501

ขอบคุณครับ

[RT OSK]

ขอบคุณครับ
ชัดเจนมากครับ

แต่ทำไมต้องให้ $(2000n+1,2008n+1)=1$
ไม่เห็นเอาไปใช้เลย

[Pain 7th]

$(200n+1,2008n+1)=1$ อันนี้เป็นความจริงครับเพราะว่า

$(2000n+1,2008n+1)=(2000n+1, 2008n+1-2000n-1)=(2000n+1,8n)=(1,8n)=1$

ส่วนที่ใช้นั้นผมไว้อ้าง a,b ครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT OSK

ขอบคุณครับ
ชัดเจนมากครับ

แต่ทำไมต้องให้ $(2000n+1,2008n+1)=1$
ไม่เห็นเอาไปใช้เลย

ไม่งั้นจะอ้างไม่ได้ ว่า
$2000n+1=a^2$ และ $2008n+1=b^2$
สำหรับบางจำนวนเต็ม a,b

[RT OSK]

เข้าใจแล้วครับ
ขอบคุณมากครับ