เกี่ยวกับ Discriminant

[Ne[S]zA]

อยากทราบว่ที่มาของ
Discriminant ของ $ax^3+bx^2+cx+d=0$ คือ $18abcd-4b^3 d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2$
แล้วก็สูตรของ Discriminant ของ สมการกำลัง n ด้วยครับ พอดีกำลังทำโครงงานอ่ะครับ
ช่วยหน่อยนะครับ
ขอบคุณครับ
เพิ่มเติมนะครับ คือว่า
ผมมีฟังก์ชัน $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ จะได้ว่า $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
ถ้า $f'(x)=0$ ดังนั้นจะได้จุดวิกฤตคือ $\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$
ถึงตรงนี้ถ้าเราพิจารณา $b^2-3ac$ เป็น Discriminant ได้มั้ยครับ??

[passer-by]

Formal form ของ discriminant ปกติ คือ $ \prod_{i<j}(r_i-r_j)^2 $ เมื่อ $ r_i$ เป็นรากสมการ (นับรากซ้ำ)

เข้าใจว่า สมการพหุนามที่ดีกรีสูงๆ ไม่น่าจะมี simple form ครับ

ส่วนคำถามเกี่ยวกับค่าวิกฤต $ b^2-3ac$ ก็เป็น discriminant ของ $ f'(x)$ อย่างเดียวครับ

อืมม.... ถ้าสนใจการเอาไปใช้งานของ discriminant และชอบเรขาคณิต ผมแนะนำให้ search หาใน google เกี่ยวกับ Rouche's inequality ดูมั้ยครับ มันเป็นอสมการทางเรขาคณิตที่ให้เงื่อนไขที่ sharp มากๆ ของ สามเหลี่ยม โดยเชื่อมโยงความสัมพันธ์ของ s,R,r (semiperimeter , circumradius, inradius)

และการพิสูจน์ของมันก็ พึ่งพา discriminant ด้วย

[Ne[S]zA]

คือเป็นแค่โครงงานม.ปลายนะครับ ยังไม่อยากไปลึก เหอๆๆ
ขอที่มาของ Discriminant ของสมการกำลังสามได้ไหมครับ
จะลองศึกษาดู
ขอบคุณครับ

[passer-by]

ก็ใช้ formal form ที่ผมให้ไว้ กระจายออกมาได้เลยครับ แล้วมันก็จะเกิดเทอม $ r_1+r_2+r_3\,\, , r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1 \,\, , r_1r_2r_3 $ ก็สามารถเขียนให้ติด a,b,c,d ได้ครับ

ไม่ยากหรอกครับ อาจจะยุ่งๆนิดนึงแค่นั้นเอง