อยากทราบเกี่ยวกับ Determinant

[naamY]

Determinant เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตเมทริกซ์จตุรัส และมีเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริง

ผมอยากทราบว่าเพราะอะไร โดเมนถึงเป็นเซตของเมทริกซ์จตุรัสหรอครับ และทำไมถึงบอกว่ามีเรนจ์เป็นเซตจำนวนจริง

ขอบคุณมากครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ naamY

Determinant เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตเมทริกซ์จตุรัส และมีเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริง

ผมอยากทราบว่าเพราะอะไร โดเมนถึงเป็นเซตของเมทริกซ์จตุรัสหรอครับ และทำไมถึงบอกว่ามีเรนจ์เป็นเซตจำนวนจริง

ขอบคุณมากครับ

เพราะนักคณิตศาตร์นิยามให้ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้นครับ จริง ๆ เราจะนิยามว่าโดเมนเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัสก็ได้ครับ แต่ว่าถ้านิยามแล้ว ต้องคิดต่อไปว่าจะเอาไปคิดทฤษฎีบทต่าง ๆ ต่อยอดได้หรือไม่ ถ้าได้ก็คิดต่อไป แล้วถ้าคนนิยมมาก ก็จะแพร่หลายเองครับ

ส่วนเรนจ์เป็นจำนวนจริง หมายถึง ได้ผลลัพธ์ของดีเทอร์... เป็นจำนวนจริง

ถ้าจำไม่ผิด ในระบบจำนวนเชิงซ้อน น่าจะนิยามให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้นะครับ

คือทุกอย่างขึ้นอยู่เราจะนิยาม

[naamY]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เพราะนักคณิตศาตร์นิยามให้ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้นครับ จริง ๆ เราจะนิยามว่าโดเมนเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นจัตุรัสก็ได้ครับ แต่ว่าถ้านิยามแล้ว ต้องคิดต่อไปว่าจะเอาไปคิดทฤษฎีบทต่าง ๆ ต่อยอดได้หรือไม่ ถ้าได้ก็คิดต่อไป แล้วถ้าคนนิยมมาก ก็จะแพร่หลายเองครับ

ส่วนเรนจ์เป็นจำนวนจริง หมายถึง ได้ผลลัพธ์ของดีเทอร์... เป็นจำนวนจริง

ถ้าจำไม่ผิด ในระบบจำนวนเชิงซ้อน น่าจะนิยามให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้นะครับ

คือทุกอย่างขึ้นอยู่เราจะนิยาม

ขอบคุณนะครับผม

[Spectra]

ถ้าเป็น determinant ใน 2มิติ ค่าของ determinant จะเป็น scaling factor ของ area ที่เกิดขึ้นจากเวกเตอร์ 2 ตัว เมื่อเทียบกับ identity matrix
ถ้า 3มิติ ก็จะเป็น scaling factor ของ volume
4มิติ ขี้นไปก็เป็น scaling factor ของ hypervolume
ที่ domain ต้องเป็น square matrix เพราะหากเราลองดู matrix 3x2 มันจะเป็นเว็กเตอร์ 2 ตัวใน 3มิติ แต่เราไม่สามารถ define concept ของ volume กับเวกเตอร์เพียง 2 ตัวได้
ที่ range เป็น $\mathbb{R}$ ก็เพราะเราสามารถหาเว็กเตอร์ n ตัวในมิติ n ที่ให้ scaling factor ที่อยู่ใน $\mathbb{R}$ ได้

[PP_nine]

ผมว่าเหตุผลที่เค้านิยามแบบนั้นเป็นเพราะเราต้องการตรวจสอบว่าระบบสมการเชิงเส้น $AX=b$ จะมีคำตอบแบบ unique หรือไม่ ซึ่งมันก็จะหมายความว่า $A^{-1}$ สามารถหาได้

แต่การหาอินเวอร์สนั้นเราจำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่าคูณทางซ้ายและทางขวาต้องได้ตัวเดียวกัน $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ ซึ่งถ้า $A$ ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสแล้วล่ะก็ อินเวอร์สซ้ายขวาก็จะมีมิติไม่เท่ากัน แถมผลคูณออกมาไม่เท่ากันด้วย เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์คนละมิติ สมการข้างต้นจึงไม่มีทางเป็นไปได้ เค้าก็เลยต้องใช้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสครับ

อีกเหตุผลหนึ่งที่น่าสนใจก็คือ เวลาเราต้องการหาว่า $A^{-1}$ มีอยู่จริงหรือไม่นั้น มันจะขึ้นอยู่กับว่าพจน์อะไรบางอย่างมีค่าเป็นศูนย์หรือเปล่า เช่น $\bmatrix{a & b \\ c & d}$ มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ $ad-bc \not= 0$ (พิสูจน์ไม่ยากครับ) หรือถ้าเป็นเมทริกซ์ 3x3 ก็จะได้ว่ามีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อพจน์ยาวๆยืดๆ (ที่เราชินตากับคูณลงลบคูณขึ้น) ไม่เท่ากับศูนย์ เค้าก็เลยนิยามให้ไอพจน์นี้แหละ เรียกว่าเป็น determinant คือสิ่งที่เอาไว้เช็คว่าเมทริกซ์หนึ่งๆจะมีอินเวอร์สหรือไม่

นั่นเลยเป็นเหตุผลว่าทำไมเค้าต้องใช้โดเมนเป็นเมทริกซ์จัตุรัส และเรนจ์เป็นจำนวนจริง(เชิงซ้อน) ครับ

[tngngoapm]

นิยามนี้ค่อนข้างชัดยกตัวอย่างว่า...ดิเทอร์มิแนนต์ของเมตริกซ์มิติสามคูณสามคือ ส่วนประกอบสเกล่าร์ของเวกเตอร์ปริมาตร...

...."determinant of 3x3 dimension matrix is a scaling factor of it's volume vector."

[tngngoapm]

...พยายามพิมพ์เป็นเทคให้นะครับ...
ให้เมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{3\times 3}$
และเมตริกซ์$\bmatrix{\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v}\\\overrightarrow{w} } =A\bmatrix{\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{j}\\\overrightarrow{k} } $
.....จะได้ว่า...$det(A)=|A| =\overrightarrow{u}\cdot ( \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}) =\overrightarrow{v}\cdot ( \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{u}) =\overrightarrow{w}\cdot ( \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})$
....และ...$-|A| =\overrightarrow{u}\cdot ( \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{v}) =\overrightarrow{v}\cdot ( \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}) =\overrightarrow{w}\cdot ( \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u})$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...พยายามพิมพ์เป็นเทคให้นะครับ...
ให้เมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{3\times 3}$
และเมตริกซ์$\bmatrix{\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v}\\\overrightarrow{w} } =A\bmatrix{\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{j}\\\overrightarrow{k} } $
.....จะได้ว่า...$det(A)=|A| =\overrightarrow{u}\cdot ( \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}) =\overrightarrow{v}\cdot ( \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{u}) =\overrightarrow{w}\cdot ( \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})$
....และ...$-|A| =\overrightarrow{u}\cdot ( \overrightarrow{w}\times \overrightarrow{v}) =\overrightarrow{v}\cdot ( \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{w}) =\overrightarrow{w}\cdot ( \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u})$

นิยามของโคแฟกเตอร์
$C_{11}(A)=\overrightarrow{i} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) $
$C_{12}(A)=\overrightarrow{j} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} )$
$C_{13}(A)=\overrightarrow{k} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} )$
การหาค่าเดทจึงสมเหตุสมผลที่.$det(A)=|A| =\overrightarrow{u}\cdot ( \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}) =a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+a_{13}C_{13}(A)$

[tngngoapm]

ให้เมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{3\times 3}$
และเมตริกซ์$\bmatrix{\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v}\\\overrightarrow{w} } =A\bmatrix{\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{j}\\\overrightarrow{k} } $
และให้$\bmatrix{ \overrightarrow{u^{-1}} & \overrightarrow{v^{-1}} & \overrightarrow{w^{-1}} } =\bmatrix{ \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} } A^{-1}$เมื่อ $AA^{-1}=I$
จะได้ว่า...$\overrightarrow{u^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) $
...$\overrightarrow{v^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u}) $
...$\overrightarrow{w^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) $

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ให้เมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{3\times 3}$
และเมตริกซ์$\bmatrix{\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v}\\\overrightarrow{w} } =A\bmatrix{\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{j}\\\overrightarrow{k} } $
และให้$\bmatrix{ \overrightarrow{u^{-1}} & \overrightarrow{v^{-1}} & \overrightarrow{w^{-1}} } =\bmatrix{ \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} } A^{-1}$เมื่อ $AA^{-1}=I$
จะได้ว่า...$\overrightarrow{u^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) $
...$\overrightarrow{v^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u}) $
...$\overrightarrow{w^{-1}} =\frac{1}{det(A)} (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) $

หรือสรุปว่า $A^{-1}=\bmatrix{(\overrightarrow{u^{-1}} \cdot \overrightarrow{i}) & (\overrightarrow{v^{-1}} \cdot \overrightarrow{i })&(\overrightarrow{w^{-1}} \cdot \overrightarrow{i} )\\( \overrightarrow{u^{-1}} \cdot \overrightarrow{j}) &( \overrightarrow{v^{-1}} \cdot \overrightarrow{j})&(\overrightarrow{w^{-1}} \cdot \overrightarrow{j}) \\ (\overrightarrow{u^{-1}} \cdot \overrightarrow{k}) &( \overrightarrow{v^{-1}} \cdot \overrightarrow{k })&(\overrightarrow{w^{-1}} \cdot \overrightarrow{k}) }_{3\times 3} $