อินทิเกรต ตรีโกณ จำนวนเชิงซ้อน !? (ว่าด้วยข้อจำกัด(สมบัติ?)ครับ)

[CHP Stannis]

$$ \int cos^2(x)dx$$

ผมมีปัญหากับเจ้านี่นิดหน่อยครับ คือว่าผมลองแบบนี้ฮะ เริ่มด้วย $e^{ix} = cosx + isinx$
$$\begin{array}{cl}
& \int [Re(e^{ix})]^2dx \\
= & Re(\int e^{i2x})dx \quad(??)\\
= & Re(\frac{e^{i2x}}{2i} \cdot \frac{i}{i})\\
= & Re(-\frac{i}{2} \cdot (e^{i2x}))\\
= & Re(-\frac{i}{2} \cdot (cos(2x) + isin(2x)))\\
= & Re(\frac{sin(2x)}{2} - \frac{icos(2x)}{2})\\
= & \frac{sin(2x)}{2}\end{array}$$

บรรทัดที่ผมใส่ (??) ไว้คือบรรทัดที่ผมคิดว่าน่าจะมีปัญหาอะไรซักอย่าง
ซึ่งมันผิดอะครับ อยากรู้ว่า ผมพลาดสมบัติของอินทิเกรต จำนวนเชิงซ้อน อันไหน ?

ผมลองอินทเกรตโดยใช้ $cos(x) = \frac{\displaystyle{e^{ix}+e^{-ix}}}{\displaystyle{2}}$ (ลองใช้เจ้า e มาคำนวน ซึ่งถ้าใช้ $cos^2x = \frac{1}{2} \cdot (1+cos(2x))$ จะง่ายและสั้นกว่ามากๆ ;w;) ก็ได้คำตอบปกติคือ $\frac{\displaystyle{x}}{\displaystyle{2}}+ \frac{\displaystyle{sin2x}}{\displaystyle{4}} + C$

ที่ผมสงสัยก็เพราะว่าโจทย์ข้อนี้ครับ

$$\begin{array}{cl}
& \int e^xcosxdx\\
=& Re(\int e^x \cdot e^{ix}dx)\\
=&Re(\int e^{x+ix}dx)\\
=&Re(\int e^{x(1+i)}dx)\\
=&Re(\frac{e^{x(1+i)}}{1+i} \cdot \frac{1-i}{1-i})\\
=&Re(\frac{e^x}{2}e^{ix}(1-i))\\
=&\frac{e^x}{2}Re[(cosx+isinx)(1-i)]\\
=&\frac{e^x}{2}Re[cosx- icosx + isinx + sinx]\\
=&\frac{e^x}{2}(cosx + sinx) + C \end{array}$$

พอจะเห็นความคล้ายกันมั้ยฮะ ซึ่งผมเอามาจากคลิปนี้ครับ

ใครรู้ว่าผมพลาดอะไรตรงไหนก็ขอความกรุณาหน่อยนะครับ

[nooonuii]

คุณคิดไปเองว่าบรรทัดแรกมันเท่ากัน

[CHP Stannis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คุณคิดไปเองว่าบรรทัดแรกมันเท่ากัน

ก็เลยมาตั้งกระทู้อะครับ

พอจะทราบมั้ยฮะว่าผิดเพราะอะไร ขอบคุณมากฮะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CHP Stannis

$$\int [Re(e^{ix})]^2dx = Re(\int e^{i2x})dx $$

$\displaystyle\int [Re(e^{ix})]^2dx=\int \cos^2 x \,dx$

แต่

$\displaystyle Re(\int e^{i2x}dx)=\int \cos 2x \, dx$

[kongp]

ถ้าให้ s = j$\omega$ , x+j$\omega$ $\therefore$ x$\in $ $\left\{\,I+\right\} $

$\sum_{n = 1}^{\infty} Cn = \int_{0}^{\infty}e^(j\ast \omega)$,ds

งงไหมครับ แกน y จะกลายเป็นแกน x ใน N มิติ ถือได้แบบนั้น วิชามีแบบเดียว นั่นแหละครับ ถ้าไม่ทำให้เป็นเรื่องยาก ให้คนแก่ชราหลายๆ คนที่หน้าเหมือนกันตัดสิน ว่าเป็นสิ่งเดียวกันหรือไม่ !

จากโจทย์โดยที่ $Cn = f(x) = Cos(x) = Re(e^{xi}) $

ถ้าไม่เท่า แล้วเป็นยังไง ?

[kongp]

อาจจะมองว่าได้ค่าคำตอบ ครบหรือไม่ครบก็ได้ครับ
ที่ได้เพียงบางส่วน อาจจะเพราะไม่ต้องการส่วน Real