แก้โจทย์อินทิเกรต 2 ชั้น แปลง u,v ให้ดูหน่อยครับ

[Zunlie]

$จงหาค่าของ$


$$\int_0^\infty\!\!\!\int_0^\infty\frac{x^2+y^2}{1+(x^2-y^2)^2}e^{-2xy}\,dy\,dx$$


โดยที่ $u = x^2 - y^2$
และ $v = 2xy$


จากสูตร

$\int\!\!\!\int f(x,y)\,dx\,dy$ = $\int\!\!\!\int f(u,v)|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|\,du\,dv$

ตรงที่ผมสงสัยคือตรงขั้นตอนที่จะแทน (u,v) เข้าไปในสมการเพื่อที่จะอินทิเกรต ตรง $x^2 + y^2$ นี่แทนยังไงดีครับ ขอเอาแบบชัดเจนเลยนะครับขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

$u^2=x^4-2x^2y^2+y^4$

$u^2+v^2=x^4+2x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2$

$x^2+y^2=\sqrt{u^2+v^2}$