ถามโจทย์คณิตหน่อย ค่ะ

[TOON']

1.ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง4ลูก สีขาว5ลูก นอกนั้นป้นสีดำ ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลในถุงขึ้นมา2ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีแดงทั้งคู่เป็น 1/20 มีลูกบอลสีดำอยู่ในถุงกี่ลูก

ทำไมมันถึงได้7 ลูกอ่า ขอวิธีทำหน่อย ค่ะ


2.ในการสุ่มหยิบก้านไม้ขีด3ก้าน จาก5 ก้าน ซึ่งยาว 2,3,4,5,6 ความน่าจะเป็นที่ไม้ขีด3ก้านที่สุ่มหยิบมานั้น ประกอบกันเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมได้คือข้อใด

กรณีที่ไม่ได้มีเพียงสามวิธีคือจับได้ (2,3,5) (2,3,6) (2,4,6) จาก 10 วิธี
(มันดูยังไงหว่า ? ว่ามันจะประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้หรือไม่)


3.ในการโยนเหรียญ1เหรียญ 100ครั้ง พบว่าเหรียญออกหัว56ครั้ง ออกก้อย44ครั้ง ถ้าโยนเหรียญนี้อีก1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวเป็นเท่าไร

ข้อนี้เขาเฉลย 2/100 อ่าทำยังไงหว่า ?

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

1. วิธีแรก มีบอลสีแดง 4 ลูก สีขาว 5 ลูก ให้มีสีดำ x ลูกนะครับ
จะมีลูกบอลทั้งหมด x+9 ลูก
สุ่มหยิบมา 2 ลูก หา n(S) นะครับ
ได้ $n(S)=\binom{x+9}{2} =\frac{(x+9)!}{(x+7)!(2!)}=\frac{(x+8)(x+9)}{2}$

คราวนี้ต้องการสีแดง สองลูก เดิมมีสีแดงสี่ลูกได้ $n(E)=\binom{4}{2}=6 $

ได้ $P(E)=\frac{6}{\frac{(x+8)(x+9)}{2}}=\frac{12}{(x+8)(x+9)}$
โจทย์บอก $P(E)=\frac{1}{20}$
ดังนั้น $\frac{12}{(x+8)(x+9)}=\frac{1}{20}$
$240=x^2+17x+72$
$(x-7)(x+24)=0$

วิธีที่สองนะครับ ลองมองเป็นหยิบทีละลูกแล้วไม่ใส่คืนนะครับ
มีลูกบอล x+9 ลูก หยิบครั้งแรกให้ได้สีแดง ความน่าจะเป็นคือ $\frac{4}{X+9}$
คราวนี้หยิบลูกที่สองนะครับ ตอนนี้ในกล่องจะเหลือสีแดง 3 ลูก เหลือบอลทั้งหมด x+8 ลูก
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้สีแดงคือ $\frac{3}{x+8}$

ดังนั้นหยิบทั้งสองลูกได้สีแดงมี $P(E)=(\frac{4}{(x+9)})(\frac{3}{(x+8)})=\frac{12}{(x+8)(x+9)}$
ก็จับไปเท่ากับ $\frac{1}{20}$ ครับ

ข้อ 2 คือถ้าผลบวกของด้านสองด้านน้อยกว่าหรือเท่ากับด้านที่ยาวที่สุด จะสร้างสามเหลี่ยมไม่ได้ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOON'

1.ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง4ลูก สีขาว5ลูก นอกนั้นป้นสีดำ ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลในถุงขึ้นมา2ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีแดงทั้งคู่เป็น 1/20 มีลูกบอลสีดำอยู่ในถุงกี่ลูก

ทำไมมันถึงได้7 ลูกอ่า ขอวิธีทำหน่อย ค่ะ


2.ในการสุ่มหยิบก้านไม้ขีด3ก้าน จาก5 ก้าน ซึ่งยาว 2,3,4,5,6 ความน่าจะเป็นที่ไม้ขีด3ก้านที่สุ่มหยิบมานั้น ประกอบกันเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมได้คือข้อใด

กรณีที่ไม่ได้มีเพียงสามวิธีคือจับได้ (2,3,5) (2,3,6) (2,4,6) จาก 10 วิธี
(มันดูยังไงหว่า ? ว่ามันจะประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้หรือไม่)

1.เมื่อมีลูกบอลสีแดง4ลูก สีขาว5ลูก นอกนั้นป็นสีดำ เหตุการณ์ที่มีโอกาสหยิบ ลูกบอลในถุงขึ้นมา2ลูกได้ลูกบอลสีแดงทั้งคู่คือ $3! = 6$ และ ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีแดงทั้งคู่เป็น $\frac{1}{20}$ จะได้สมการคือ
$\frac{6}{X}$ = $\frac{1}{20}$ (เมื่อ X คือ เหตุการณ์ทั้งหมด)
$X = 120$
จากนั้นได้สมการจากสูตรหาเหตุการณ์ทั้งหมดคือ (เมื่อ A คือลูกสีดำ)
$\frac{(A+9)*(A+8)}{2!} = 120$
$A^2+17A+72 = 240$
$A^2+17A-168 = 0$
$(A-7)(A+24) = 0$
$ดังนั้น(A=7)และ(A=-24)$
ซึ่งจำนวนติดลบไม่ได้ จะได้ดำมี 7 ลูกครับ

2.ดูว่าด้านทั้งสามนั้น ต้องไม่มี 2 ด้านใดๆบวกกันแล้วได้น้อยกว่าหรือเท่ากับ ด้านที่เหลือครับ
เช่นมี $a b c$ เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม
จะเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ก็ต่อเมื่อ $a+b>c$, $b+c>a$ และ $a+c>b$
เพราะว่าถ้า 2 ด้านใดๆบวกกันแล้วได้น้อยกว่า ด้านที่เหลือ มันจะประกอบกันไม่ติด
และถ้า 2 ด้านใดๆบวกกันแล้วได้เท่ากับ ด้านที่เหลือ มันจะทับกันสนิทเหมือนเส้นตรง ครับ

3.นั้นผมก็คิดไม่ได้ $\frac{2}{100}$ ครับเลยไม่รู้ว่าจะเฉลยยังไงดี

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ครับ ผมก็คิดข้อสามไม่ได้อยู่ดี มันแปลกมากๆ ที่โยนเหรียญหนึ่งเหรียญให้ออกหัว ความน่าจะเป็นมันน่าจะใกล้เคียงกับ 0.5 แต่นี้เฉลย 2/100

[MiNd169]

ความจริงผมก็คิดว่าโจทย์อาจถามอีกความหมายหนึ่งคือ ถ้าทอยอีกครั้ง แล้วโอกาสออกหัว(แต่รวมกับสถิติครั้งก่อน)เป็นเท่าไร
หรือ ถ้าจะมองว่า เหรียญนี้มันไม่เที่ยงตรงเพราะดูจากสถิติ หายังไงก็ไม่ได้ 2/100 ครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ผมก็คิดว่ามันให้ดูจากการทอยเดิมอ่ะแหละครับ