พิสูจน์สูตรเรื่องวงกลม

[ฝันบรรเจิด]

อยากรู้ว่าเขาพิสูจน์สูตรนี้กันยังไงครับ

คือบอกว่าให้หาวงกลมที่ผ่าน จุดตัดของวงกลม x^2+y^2+a1x+b1y+c1=0 กับ

x^2+y^2+a2x+b2y+c2=0 และผ่านจุด (x0,y0)

คำตอบคือ วงกลมนั้นมีสมการเป็น x^2+y^2+a1x+b1y+c1 +K(x^2+y^2+a2x+b2y+c2) =0 >>>(1)

โดยที่ K หาได้จาก แทน (x,y) = (x0,y0) ใน สมการ(1)

[TOP]

เรื่องเกี่ยวกับ family of locus ต่างๆ ผมก็ลืมเลือนไปเกือบหมดแล้ว จะลองมั่วให้ดูนะครับ

จากสมการวงกลมที่น้องให้มา $x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 + K(x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0$

หาก จุด $(x_0 , y_0)$ ที่เลือกมาอยู่บนวงกลม $x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ โดยที่ไม่ได้เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสองวง เมื่อแทนค่าลงไปจะทำให้
$$\begin{array}{cl}
& x_0^2 + y_0^2 + a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 + K(x_0^2 + y_0^2 + a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2) \\
= & x_0^2 + y_0^2 + a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 + K(0) \\
= & x_0^2 + y_0^2 + a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 \\
\not= & 0
\end{array}$$ไม่สามารถหาค่า $K$ ที่ต้องการได้ สมการวงกลม $x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 + K(x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2)$ จึงยังไม่ครอบคลุมวงกลม $x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$

แล้วสมการไหนจึงครอบคลุมละ

สมมติว่าจุดตัดของวงกลม $x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ กับวงกลม $x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ คือ
$(x_1 , y_1)$ และ $(x_2 , y_2)$

ดังนั้นเมื่อแทนค่าจุดตัดทั้งสองลงไป ทีละจุด จะได้
$x_1^2 + y_1^2 + a_1 x_1 + b_1 y_1 + c_1 = 0$ และ $x_1^2 + y_1^2 + a_2 x_1 + b_2 y_1 + c_2 = 0$
กับ
$x_2^2 + y_2^2 + a_1 x_2 + b_1 y_2 + c_1 = 0$ และ $x_2^2 + y_2^2 + a_2 x_2 + b_2 y_2 + c_2 = 0$

หรือ
$J(x_1^2 + y_1^2 + a_1 x_1 + b_1 y_1 + c_1) + K(x_1^2 + y_1^2 + a_2 x_1 + b_2 y_1 + c_2) = 0$
กับ
$J(x_2^2 + y_2^2 + a_1 x_2 + b_1 y_2 + c_1) + K(x_2^2 + y_2^2 + a_2 x_2 + b_2 y_2 + c_2) = 0$

หรือเป็นจุดบน family of locus $J(x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1) + K(x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0$ ด้วย

สมการที่ได้เมื่อจัดรูปแล้ว ยังเป็นรูปแบบทั่วไปของสมการวงกลมด้วย ดังนั้น family of locus อันนี้จึงครอบคลุมสมการวงกลมหลายวง ที่ผ่านจุดตัดของวงกลมทั้งสอง

หากต้องการสมการวงกลมที่เจาะจงยิ่งขึ้น ก็ต้องระบุค่า $J , K$ ออกมา

เช่น หากต้องการหาสมการวงกลมที่ผ่านจุด $(x_0 , y_0)$ ด้วย
เมื่อแทนค่าจุดดังกล่าวลงไป และกำหนดให้ $J = 1$ จะได้

$x_0^2 + y_0^2 + a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 + K(x_0^2 + y_0^2 + a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2) = 0$

ที่เหลือแก้สมการหาค่า $K$ ก็จะได้สมการวงกลมที่ผ่านจุดที่ต้องการ (หากจุด $(x_0 , y_0)$ ทำให้เกิดปัญหา ดังที่ได้ยกตัวอย่างข้างบนสุด ก็เปลี่ยนมากำหนดให้ $J = 0$ แทน)

และเนื่องจาก เราสามารถหาค่า $J , K$ ได้เสมอ สำหรับจุดผ่านอีกจุดหนึ่งที่กำหนด (ที่ไม่ซ้ำกับจุดตัดทั้งสอง) ดังนั้น family of locus $J(x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1) + K(x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0$ นี้จึงครอบคลุมสมการวงกลมทุกวงที่ ผ่านจุดตัดของวงกลมทั้งสองจริงๆ