Sigma

[BLACK-Dragon]

จงหาค่าของ

$$\sum_{n = 1}^{53} (n^2-n)\binom{53}{n} $$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จงหาค่าของ

$$\sum_{n = 1}^{53} (n^2-n)\binom{53}{n} $$

เป็นข้อสอบ shortlist tmo#7 ข้อ 9 combinatorics ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/show...t=11966&page=2

[LightLucifer]

$\frac{53!}{n!(53-n)!}(n)(n-1)=\frac{51!}{(n-2)!(51-(n-2))!}(53)(52)=(53)(52)\binom{51}{n-2}$
ที่เหลือต่อเองครับ

ปล น่าแปลกที่ข้อสอบซ้ำๆแบบนี้ยังมาเป็น Shortlist ได้

[gon]

ลองดูในนี้ครับ.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

16.1 วิธีที่ 2.

เนื่องจาก $(1+x)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}x^r$

หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้

$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r = 0}^{n}r\binom{n}{r}x^{r-1} ~~~...(1)$

หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้

$(n-1)n(1+x)^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-2}$

นำ x คูณทั้งสองข้างจะได้

$(n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-1}~~~...(2)$

(1)+(2) , $n(1+x)^{n-1} + (n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}x^{r-1} $

แทนค่า x = 1 จะได้

$n\cdot 2^{n-1}+(n-1)n\cdot 2^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}$

เมื่อจัดรูป ก็จะได้เหมือนวิธีที่ 1.

สมการที่ (2) ถ้าแทน x = 1 จะได้

$\sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}=(n-1)n(2)^{n-2}$

โจทย์ต้องการหา $\sum_{r = 1}^{53} (r^2-r)\binom{53}{r}$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ลองดูในนี้ครับ.



สมการที่ (2) ถ้าแทน x = 1 จะได้

$\sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}=(n-1)n(2)^{n-2}$

โจทย์ต้องการหา $\sum_{r = 1}^{53} (r^2-r)\binom{53}{r}$

$$(1+x)^n=\sum_{n = 0}^{n}x\binom{n}{n} $$

แล้ว ส.ป.ส ของ $(1+x)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n$ ทำไมเราจึงแทน x ด้วย 1 หรอครับ

ทำไมถึงแทนเป็นตัวอื่นไม่ได้ เช่นแทนด้วย $2,3,4,....$ ไม่ได้

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

$$(1+x)^n=\sum_{r = 0}^{n}x^r\binom{n}{r} $$

แล้ว ส.ป.ส ของ $(1+x)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n$ ทำไมเราจึงแทน x ด้วย 1 หรอครับ

ทำไมถึงแทนเป็นตัวอื่นไม่ได้ เช่นแทนด้วย $2,3,4,....$ ไม่ได้

แทนตัวอื่นก็ได้ครับ เช่น ถ้าแทน x = 2 จะได้

$3^n = \binom{n}{0} + 2\binom{n}{1} + 2^2\binom{n}{2} + ... + 2^n\binom{n}{n}$

ปล. $$\sum_{r = 0}^{n}x^r\binom{n}{r} \ne \sum_{n = 0}^{n}x^n\binom{n}{n}$$ ถ้าใช้สัญลักษณ์ผิด ก็จะงงได้นะครับ.

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

แทนตัวอื่นก็ได้ครับ เช่น ถ้าแทน x = 2 จะได้

$3^n = \binom{n}{0} + 2\binom{n}{1} + 2^2\binom{n}{2} + ... + 2^n\binom{n}{n}$

ปล. $$\sum_{r = 0}^{n}x^r\binom{n}{r} \ne \sum_{n = 0}^{n}x^n\binom{n}{n}$$ ถ้าใช้สัญลักษณ์ผิด ก็จะงงได้นะครับ.

ขอบคุณมากๆครับ

มีโจทย์บ้างไหมครับ อยากลองเสริมประสบการณ์

[gon]

จงหาค่า n ที่ทำให้ $$2\binom {2n}{0} + \frac{2}{3}\binom {2n}{2} + \frac{2}{5}\binom {2n}{4} + \frac{2}{7}\binom {2n}{6} + ...+ \frac{2}{2n+1}\binom {2n}{2n} = \frac{8192}{2n+1}$$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

Attachment 5284

จงหาค่า n ที่ทำให้ $$2\binom {2n}{0} + \frac{2}{3}\binom {2n}{2} + \frac{2}{5}\binom {2n}{4} + \frac{2}{7}\binom {2n}{6} + ...+ \frac{2}{2n+1}\binom {2n}{2n} = \frac{8192}{2n+1}$$

ขอบคุณมากนะครับ โจทย์มหาหินเลยครับ

ลองดูให้หน่อยว่ามาถูกทางหรือเปล่าครับ มาถูกจะได้ไปต่อต่อถ้าหลงป่าก็ขอคิดใหม่ครับ

my Soln

$$2\binom {2n}{0} + \frac{2}{3}\binom {2n}{2} + \frac{2}{5}\binom {2n}{4} + \frac{2}{7}\binom {2n}{6} + ...+ \frac{2}{2n+1}\binom {2n}{2n}$$

$$=2\sum_{n = 0}^{n}(\frac{1}{2n+1})\binom{2n}{2n}=\frac{8192}{2n+1}$$

$$\sum_{n = 0}^{n}(\frac{1}{2n+1})\binom{2n}{2n}=\frac{4096}{2n+1}$$

$$\sum_{n = 0}^{n}(\frac{1}{2n+1})\frac{\binom{2n}{n}}{2}=\frac{4096}{2n+1}$$ ส.ป.ส คี่= ส.ป.ส คู่

$$2^{2n}(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1})=\frac{8192}{2n+1}$$

$$(2n+1)\sum_{n = 0}^{n}(\frac{1}{2n+1})=2^{13-2n}$$

[จูกัดเหลียง]

คือ น่าจะใช้ตัวแปรคนละตัวกันนะครับ
เช่นน่าจะใช้ $\sum_{i = 1}^{n}$ มากกว่า

เเล้วก็ $(\frac{2n}{2n}) \not= \frac{(\frac{2n}{n})}{2}$นะครับ
น่าจะเท่ากับ $\frac{(\frac{n}{r})}{2}$นะครับ


ส่วนบรรทัดสุดท้าย งง มากๆครับช่วยอธิบาย(มาได้อย่างไร)

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

คือ น่าจะใช้ตัวแปรคนละตัวกันนะครับ
เช่นน่าจะใช้ $\sum_{i = 1}^{n}$ มากกว่า

เเล้วก็ $(\frac{2n}{2n}) \not= \frac{(\frac{2n}{n})}{2}$นะครับ
น่าจะเท่ากับ $\frac{(\frac{n}{r})}{2}$นะครับ


ส่วนบรรทัดสุดท้าย งง มากๆครับช่วยอธิบาย(มาได้อย่างไร)

ขอบคุณมากๆครับที่ช่วยดูให้เพราะผม ก็ยังไม่เป็นเรื่องนี้ สุดความสามารถผมแล้วล่ะครับ

จะลองไปคิดใหม่ละกันครับ

[~ArT_Ty~]

$$\sum_{k = 0}^{n}\frac{2}{2k+1}\binom{2n}{2k}=\frac{8192}{2n+1} $$

$$\sum_{k = 0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}=4096 $$

อย่างนี้น่าจะพอได้นะครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

$$\sum_{k = 1}^{n}\frac{2}{2k+1}\binom{2n}{2k}=\frac{8192}{2n+1} $$

$$\sum_{k = 1}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}=8192 $$

อย่างนี้น่าจะพอได้นะครับ

แล้ว 2 ตรงเศษหายไปไหนอะครับ

[~ArT_Ty~]

แก้แล้วครับๆๆ ขอโทษครับๆ ลืมหาร ==" ถ้าไม่ถูกก็แก้เลยนะครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

$$\sum_{k = 0}^{n}\frac{2}{2k+1}\binom{2n}{2k}=\frac{8192}{2n+1} $$

$$\sum_{k = 0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}=4096 $$

อย่างนี้น่าจะพอได้นะครับ

คือมายังไงครับ อยากรู้ๆ
ถ้าเปลี่ยน $$\binom{2n}{2r}$$ เป็น $$\frac{\binom{n}{r}}{2}$$ล่ะครับ จะได้ไหม