รบกวนแนะนำหน่อยครับเกี่ยวกับ Algebra

[thisisclick]

การบ้านน่ะครับ
1.พิสูจน์ว่า กรุปที่มีขนาด 6 ต้อง isomorphic กับ Z_{6} หรือ S_{3} เท่านั้น
ขอ hint ครับ
คือผมให้ G เป็นกรุปขนาด 6
จากนั้นถ้ามัน cyclic มันต้อง isomorphic กับ Z_{6}
เลยสมมติว่าไม่ cyclic
ดังนั้น ทุกสมาชิก ใน G ยกเว้น identity ต้อง order 3 หรือ 2 เท่านั้น
ใบ้กินแล้วทีนี้ ไปไงต่อครับ


2. กำลังคิดอยู่ว่า มีกรุป order6 ไหมที่ไม่cyclic แต่ abelian (ไม่น่ามี)


ขอบคุณครับ ขอคำแนะนำนะครับ อย่าเพิ่งเฉลย

[nooonuii]

1. กรณีที่ไม่ cyclic ลองนับจำนวนสมาชิกที่มีขนาด $2,3$ ดูสิครับว่ามีอยู่กี่ตัว
2. ไม่มีครับ abelian group ที่มีขนาด 6 จะ cyclic เสมอ (เหตุผลมาจากการพิจารณาผลคูณของสมาชิกที่มีขนาด 2 กับ 3)

[thisisclick]

นับ order ของ G นับไม่เป็นอ่ะครับ เพราะไม่เห็นหน้าตามัน
แต่นับใน s_{3} มี order 3 อยู่ ตัวเดียว นอกนั้นที่ไม่ใช่ identity order2



ปวดหัวจัง

ขอบคุณมากนะครับจะพยายามคิดต่อไป

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thisisclick

นับ order ของ G นับไม่เป็นอ่ะครับ เพราะไม่เห็นหน้าตามัน
แต่นับใน s_{3} มี order 3 อยู่ ตัวเดียว นอกนั้นที่ไม่ใช่ identity order2
ปวดหัวจัง

ขอบคุณมากนะครับจะพยายามคิดต่อไป

มีสองตัวครับ ถ้าตัวนึงมีขนาด $3$ อินเวอร์สของมันก็ต้องมีขนาด $3$ ด้วยครับ

Hint:

ในกรณีที่ไม่ cyclic เราต้องพิสูจน์ว่า $G$ isomorphic กับ $S_3$ ดังนั้น $G$ จะต้องมีคุณสมบัติเหมือน $S_3$ ทุกประการ(นี่คือเหตุผลว่าทำไมเราถึงแปลคำว่า isomorphic เป็น ถอดแบบ ในภาษาไทยครับ)

[thisisclick]

มี2ตัวจริงๆด้วยผมผิดเอง (123) กับ (132)

แต่ยังคิดไม่ออกอยู่ดี สู้ๆ

ผมได้ว่า S_{3}=<(12),(123)> จริงป่าว

แล้วผมหา element a ในG ที่ order2 และ b ใน G ที่ order3
จากนั้นสร้าง map a-->(12), b-->(123)
ได้ไหมครับ


ปล.ยังหา a , b ไม่ได้เลยอ่ะ

[thisisclick]

ผมตั้ง G={e,a,b,b^2,ab,ab^2} จากนั้นแสดงว่า มันไม่ซ้ำกัน
แล้วผมนิยาม map a-->(12), b-->(123)
น่าจะพอนะ (จะทำส่งอาจารย์อย่างนี้แหละ)

ทีนี้ผมกำลังคิดพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง(อันนี้รบกวนพิสูจน์ให้ผมด้วยเลยนะครับ ขอบคุณมากๆ)

คือให้ G เป็นกรุปขนาด 6
จากนั้นถ้ามัน cyclic มันต้อง isomorphic กับ Z_{6}
เลยสมมติว่าไม่ cyclic
ดังนั้น ทุกสมาชิก ใน G ยกเว้น identity ต้อง order2 หรือ 3 เท่านั้น
จะแสดงว่ามีสมาชิก a และ bใน G ที่ order2 และ 3 ตามลำดับ(อันนี้รบกวนพิสูจน์ให้ผมด้วยเลยนะครับ ขอบคุณมากๆ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ thisisclick

ผมตั้ง G={e,a,b,b^2,ab,ab^2} จากนั้นแสดงว่า มันไม่ซ้ำกัน
แล้วผมนิยาม map a-->(12), b-->(123)
น่าจะพอนะ (จะทำส่งอาจารย์อย่างนี้แหละ)

ถูกแล้วครับ

ทีนี้ผมกำลังคิดพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง(อันนี้รบกวนพิสูจน์ให้ผมด้วยเลยนะครับ ขอบคุณมากๆ)

คือให้ G เป็นกรุปขนาด 6
จากนั้นถ้ามัน cyclic มันต้อง isomorphic กับ Z_{6}
เลยสมมติว่าไม่ cyclic
ดังนั้น ทุกสมาชิก ใน G ยกเว้น identity ต้อง order2 หรือ 3 เท่านั้น
จะแสดงว่ามีสมาชิก a และ bใน G ที่ order2 และ 3 ตามลำดับ(อันนี้รบกวนพิสูจน์ให้ผมด้วยเลยนะครับ ขอบคุณมากๆ)

ใช้ Cauchy Theorem ได้รึยังครับ ถ้าใช้ได้ก็อ้างทฤษฎีบทนี้ได้เลยครับ
แต่ถ้าใช้ไม่ได้ก็ลองสมมติดูว่าถ้า $G$ ไม่มีสมาชิกที่มีขนาด $2$ หรือ $3$ อยู่เลยจะเกิดอะไรขึ้น $G$ จะมีขนาด $6$ ได้ไหม?