โจทย์ของ simple[1] (โจทย์ตรรกศาสตร์)

[infinity]

ผมอยากตั้งปัญหา แต่ผมไม่ได้เป็นสมาชิก จึงฝากคำถามไว้ตรงนี้แล้วกัน ใครใจดีก็ช่วย copy ไปตั้งเป็นคำถามให้หน่อยครับ ขอใช้ชื่อหัวข้อว่า "โจทย์ตรรกศาสตร์"
พวกเราเคยเรียนกันมาตั้งแต่เด็กว่า
"จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b ไม่เป็นศูนย์" และ
"ตัวเลขที่เป็น ทศนิยมซ้ำ สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ (มีวิธีทำได้อย่างน้อยสองวิธีที่ต่างกัน) (ซึ่งก็หมายความว่าเป็นจำนวนตรรกยะนั่นเอง)"

จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ กรุณาช่วยยกเหตุผลที่ rigorous ประกอบด้วย

1.) ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว สามารถเขียน x ในรูปทศนิยมซ้ำได้

หากเราสังเกตให้ดี ค่าของทศนิยมตำแหน่งต่อไปที่หาได้ ขึ้นกับเศษเหลือ ของกระบวนการก่อนหน้านั้นเท่านั้น
พิจารณาง่ายๆ สำหรับกรณี m/n เมื่อ (m,n) = 1 และ 0 < m < n ( เราเว้นกรณีที่ m = 0 เพราะเรารู้ว่ามันเป็นทศนิยมซ้ำศูนย์ ) จะได้ m/n = 0.abcdef... โดยที่ a,b,c,d,... เป็นตัวเลข 0 - 9

พิจารณากระบวนการเปลี่ยนจาก m/n ให้เป็น 0.abcdef... ทีละตำแหน่ง จะพบว่า
ได้ผลหารเป็น 0. เหลือเศษเป็น m
ได้ผลหารเป็น 0.a เหลือเศษเป็น x โดยที่ 0 <= x < n หาก x = 0 หรือ x = m จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตัว แต่หากไม่ใช่ ให้ทำการหารหาค่าต่อไป
ได้ผลหารเป็น 0.ab เหลือเศษเป็น y โดยที่ 0 <= y < n หาก y = m จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 2 ตัว หาก y = 0 หรือ y = x จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตัว แต่หากไม่ใช่ ให้ทำการหารหาค่าต่อไป
พิจารณาเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เนื่องจากเศษจากการหาร r ด้วย n มีได้ทั้งสิ้น n-1 ค่า (0 < r < n) โดยกฎรังนกพิราบ จะได้ว่า เศษเหลือในขั้นตอนของการหาผลหารที่เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ n-1 จะต้องซ้ำกับ เศษเหลือของขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่ง ก่อนหน้านี้เสมอ นั่นคือ m/n ใดๆ จะเกิดทศนิยมซ้ำขึ้น และ มีความยาวของทศนิยมซ้ำได้ไม่เกิน n-1 ตัว เช่น
1/7 = 0.142857 ซ้ำ 6 ตำแหน่ง
1/17 = 0.0588235294117647 ซ้ำ 16 ตำแหน่ง
1/19 = 0.052631578947368421 ซ้ำ 18 ตำแหน่ง

ลืม ตั้งคำถามทิ้งท้ายไว้สักข้อ
พวกเราเคยเรียนกันมาตั้งแต่เด็กว่า
"จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป a/b เราเรียกว่าเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนจำนวนที่เขียนไม่ได้เราเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ"
คำถามก็มีอยู่ว่า คำว่า "ตรรกยะ" หมายถึงเหตุผล ที่อยู่ในชื่อ "จำนวนตรรกยะ" และ "จำนวนอตรรกยะ" มีที่มาอย่างไร ทำไมเราจึงเรียกเป็น จำนวนที่มีเหตุผล และ จำนวนที่ไม่มีเหตุผล (คำถามนี้เทียบเท่ากับ คำว่า "rational" หมายถึงเหตุผล ที่อยู่ในชื่อ "rational number" และ "irrational number" มีที่มาอย่างไร ทำไมเราจึงเรียกเป็น จำนวนที่มีเหตุผล และ จำนวนที่ไม่มีเหตุผล)

[ไดอารี่เด็กดื้อ]

อยากได้โจทย์ตรรกศาสตร์พร้อมวิธีทำด้วยค่ะ
ขอบคุณค่ะ

[ochin_ko]

ไม่แน่ใจว่าเข้าใจถูกหรือเปล่านะครับ แต่น่าจะพิมพ์ผิด "ตรรกะ" แปลว่า เหตุผล ไม่ใช่ตรรกยะ ส่วนคำว่า rational แปลว่าเศษส่วน (ตรรกยะ) ครับ หรืออะไรสักอย่างนี่แหละครับ ลองเปิดจากพจนานุกรมดูครับ เพราะฉะนั้น irrational ก็น่าจะแปลว่าอตรรกยะ ครับ ไม่น่าจะเกี่ยวกับเหตุผลหรือไม่เหตุผลครับ ลองตรวจสอบดูแล้วกันนะครับ

[Mel SK125]

จากพจนานุกรม (The American Heritage&reg; Dictionary of the English Language - www.dictionary.com)

แปลไว้ 2 อย่างครับ โดยความหมายที่ว่าเป็นจำนวนตรรกยะก็เป็นความหมายพิเศษหรือศัพท์เฉพาะ
มีรากศัพท์

ตอนแรกผมคิดว่า rational มาจาก ratio แต่รากศัพท์มาจากคนละคำอะคับ