เกี่ยวกับพหุนามครับ

[Poogunexe]

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้

$ x^2+x+1$ หาร $x^{2n}+1+(x+1)^{2n} ลงตัว $

ทำยังไงอะครับ

[Beatmania]

เนื่องจาก $x^2+x+1$ มีรากเป็น $\omega _3,\omega _3^2$ เมื่อ $\omega _3=cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}$

ถ้าหาก $Q(x)=x^{2n}+(x+1)^{2n}+1$ มี $x^2+x+1$ เป็นตัวประกอบแล้ว

$Q(\omega_3)=0,Q(\omega_3^2)=0$

$Q(\omega_3)=\omega_3^{2n}+(\omega_3+1)^{2n}+1=(cis \frac{2\pi}{3})^{2n}+(cis \frac{\pi}{3})^{2n}+1=cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=0$

$Q(\omega_3^2)=(\omega_3^2)^{2n}+(\omega_3^2+1)^{2n}+1=(cis \frac{-2\pi}{3})^{2n}+(cis \frac{-\pi}{3})^{2n}+1=cis\frac{-4n\pi}{3}+cis\frac{-2n\pi}{3}+1=0$

เนื่องจาก $cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=0$
ทำให้ได้ว่า $cis\frac{2n\pi}{3}$ เป็นรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่จำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน
ทำให้ได้ว่า $cis\frac{-2n\pi}{3}$ เป็นรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่จำนวนจริงเช่นกัน

Case 1: $cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}$

$cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}=cis\frac{2\pi+6k\pi}{3}=cis\frac{2\pi(3k+1)}{3}$ เมื่อ $k\in N_0$

$n=3k+1$ เมื่อ $k\in N_0$

จะได้ $cis\frac{-2n\pi}{3}=cis\frac{-6k-2\pi}{3}=cis(\frac{-2\pi}{3}-2k\pi)=cis\frac{-2\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}=\omega_3^2$

ซึ่งเป็นรากที่สามของ 1 โดยที่ไม่เป็นจำนวนจริง จริงๆ

Case 2: $cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}$

$cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}=cis\frac{4\pi+6k\pi}{3}=cis\frac{2\pi(3k+2)}{3}$ เมื่อ $k\in N_0$

$n=3k+2$ เมื่อ $k\in N_0$

จะได้ $cis\frac{-2n\pi}{3}=cis\frac{-6k-4\pi}{3}=cis(\frac{-4\pi}{3}-2k\pi)=cis\frac{-4\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}=\omega_3$

ซึ่งเป็นรากที่สามของ 1 โดยที่ไม่เป็นจำนวนจริง จริงๆ

ดังนั้นค่า n ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ จำนวนนับที่หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว ###

ถ้า $3|n$ จะได้ $n=3k$ เมื่อ $k\in N$ $Q(\omega_3)=cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=cis4k\pi+cis2k\pi+1=3\neq 0$ ดังนั้น

$(x^2+x+1)\nmid Q(x)$ เมื่อ $3|n$

[SixGoldsForThailand]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

เนื่องจาก $x^2+x+1$ มีรากเป็น $\omega _3,\omega _3^2$ เมื่อ $\omega _3=cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}$

ถ้าหาก $Q(x)=x^{2n}+(x+1)^{2n}+1$ มี $x^2+x+1$ เป็นตัวประกอบแล้ว

$Q(\omega_3)=0,Q(\omega_3^2)=0$

$Q(\omega_3)=\omega_3^{2n}+(\omega_3+1)^{2n}+1=(cis \frac{2\pi}{3})^{2n}+(cis \frac{\pi}{3})^{2n}+1=cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=0$

$Q(\omega_3^2)=(\omega_3^2)^{2n}+(\omega_3^2+1)^{2n}+1=(cis \frac{-2\pi}{3})^{2n}+(cis \frac{-\pi}{3})^{2n}+1=cis\frac{-4n\pi}{3}+cis\frac{-2n\pi}{3}+1=0$

เนื่องจาก $cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=0$
ทำให้ได้ว่า $cis\frac{2n\pi}{3}$ เป็นรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่จำนวนจริง ในทำนองเดียวกัน
ทำให้ได้ว่า $cis\frac{-2n\pi}{3}$ เป็นรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่จำนวนจริงเช่นกัน

Case 1: $cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}$

$cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}=cis\frac{2\pi+6k\pi}{3}=cis\frac{2\pi(3k+1)}{3}$ เมื่อ $k\in N_0$

$n=3k+1$ เมื่อ $k\in N_0$

จะได้ $cis\frac{-2n\pi}{3}=cis\frac{-6k-2\pi}{3}=cis(\frac{-2\pi}{3}-2k\pi)=cis\frac{-2\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}=\omega_3^2$

ซึ่งเป็นรากที่สามของ 1 โดยที่ไม่เป็นจำนวนจริง จริงๆ

Case 2: $cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}$

$cis\frac{2n\pi}{3}=cis\frac{4\pi}{3}=cis\frac{4\pi+6k\pi}{3}=cis\frac{2\pi(3k+2)}{3}$ เมื่อ $k\in N_0$

$n=3k+2$ เมื่อ $k\in N_0$

จะได้ $cis\frac{-2n\pi}{3}=cis\frac{-6k-4\pi}{3}=cis(\frac{-4\pi}{3}-2k\pi)=cis\frac{-4\pi}{3}=cis\frac{2\pi}{3}=\omega_3$

ซึ่งเป็นรากที่สามของ 1 โดยที่ไม่เป็นจำนวนจริง จริงๆ

ดังนั้นค่า n ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ จำนวนนับที่หารด้วย $3$ ไม่ลงตัว ###

ถ้า $3|n$ จะได้ $n=3k$ เมื่อ $k\in N$ $Q(\omega_3)=cis\frac{4n\pi}{3}+cis\frac{2n\pi}{3}+1=cis4k\pi+cis2k\pi+1=3\neq 0$ ดังนั้น

$(x^2+x+1)\nmid Q(x)$ เมื่อ $3|n$

สวัสดีครับ คุณ Beatmania
วิธีทำของคุณถูกต้องนะครับ แต่ผมขออนุญาตเสนอแนะอะไรนิดหนึ่ง ซึ่งหวังว่าจะเป็นประโยชน์กับผู้อ่านทุกท่าน
สังเกตว่า $\omega = \overline{\omega}$ เมื่อเส้นข้างบนแทนการสังยุคเชิงซ้อน เนื่องจาก $Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ ดังนั้น $Q(x) = 0 \Leftrightarrow Q(\overline{x})=0$.
ฉะนั้น เช็คเพียง $Q(\omega) =0$ ก็พอครับ กล่าวคือ
\[
x^2+x+1 | x^{2n}+(x+1)^{2n}+1 \text{ if and only if } \omega^{2n}+\omega^n+1 = 0
\]
เมื่อ $\omega = e^{2\pi i/3}$. นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ $\omega^n$ เป็นรากของ $x^2+x+1$ นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ $3 \nmid n$ ครับ

สวัสดีครับ