นิดค่า

[Spotanus]

ให้ $n \in \mathbb{N}$ และ
$$S=\{\left(a_{1},a_{2},...,a_{n^{2}}\right)\in \{1,i\}\times \{1,i\}...\{1,i\} \mid
\forall x,y \in \{1,2,...,n-1\},\left(a_{ny+x-n}\right)\left(a_{ny+x-n+1}\right)\left(a_{ny+x}\right)\left(a_{ny+x+1}\right)=-1\}$$
สุ่มเลือก $\left(a_{1},a_{2},...,a_{n^{2}}\right)\in S$ ใดใด
ถ้าโอกาสที่ $\left(a_{n^{2}-n-1}\right)\left(a_{n^{2}}\right)\in\mathbb{R}$
เป็น $\frac{1}{k}$ เมื่อ $k \in \mathbb{N}$ แล้วจงแสดงว่า $k=n+1$

[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ... ทำไมทำมาไหงได้คำตอบไม่เท่ากับที่โจทย์ต้องการซะนี่ รบกวนช่วยหาที่ผิด (หรือว่ายืนยันว่าถูกแล้ว) หน่อยได้มั้ยเจ้าคะ?

แรกสุดเขียนเงื่อนไขของเซต $S$ ให้ดูง่ายขึ้นเป็น $a_{n(y-1)+x}a_{n(y-1)+(x+1)}a_{ny+x}a_{ny+(x+1)}$ เสียก่อน
ให้ $(a_1,a_2,...,a_{n^2}) \in S$ จะได้ว่ามีสองกรณีก็คือ
กรณี 1 $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k \not= a_{k+1}]$
กรณี 2 $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k = a_{k+1}]$

ดูกรณีแรกก่อนนะเจ้าคะ
ถ้า $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k \not= a_{k+1}]$ จะได้ในทันทีว่า
$$(a_1,a_2,...,a_n)=(a_1,\frac{i}{a_1},a_1,\frac{i}{a_1},...)$$
สลับกันไปเรื่อยๆ
ดังนั้นจะได้ว่า ${a_1}{a_2}={a_2}{a_3}=...={a_{n-1}}{a_n}=i$
เมื่อลองแทนค่าในเงื่อนไขของ $S$ ด้วย $(x,y)=(1,1),(2,1),...,(n-1,1)$ จะได้
\[\begin{array}{cl}
({a_1}{a_2})({a_{n+1}}{a_{n+2}})= & -1\\
({a_2}{a_3})({a_{n+2}}{a_{n+3}})= & -1\\
... & \\
({a_{n-1}}{a_n})({a_{2n-1}}{a_{2n}})= & -1\\
\end{array} \]
จึงได้ว่า ${a_{n+1}}{a_{n+2}}={a_{n+2}}{a_{n+3}}=...={a_{2n-1}}{a_{2n}}=i$ ด้วย
ในทำนองเดียวกัน แทนค่าในเงื่อนไขของ $S$ ด้วย $(x,y)=(1,2),(2,2),...,(n-1,2)$ ก็จะได้ ${a_{2n+1}}{a_{2n+2}}={a_{2n+2}}{a_{2n+3}}=...={a_{3n-1}}{a_{3n}}=i$
ในกรณีทั่วไปจะได้ว่า $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[{a_{(k-1)n+1}}{a_{(k-1)n+2}}={a_{(k-1)n+2}}{a_{(k-1)n+3}}=...={a_{kn-1}}{a_{kn}}=i]$
สังเกตชุดคำตอบของระบบสมการสำหรับแต่ละค่า $k$ นั้นกำหนดได้โดยค่าของ $a_{(k-1)n+1}$ เพียงลำพังเท่านั้น กล่าวคือ
$$(a_{(k-1)n+1},a_{(k-1)n+2},...,a_{kn})=(a_{(k-1)n+1},\frac{i}{a_{(k-1)n+1}},a_1,\frac{i}{a_{(k-1)n+1}},...)$$
ดังนั้นจึงสามารถบรรยายชุดคำตอบ $(a_1,a_2,...a_{n^2})$ โดยใช้เพียงแค่ $(a_1,a_{n+1},a_{2n+1},...,a_{n(n-1)+1})$ ได้
คราวนี้เราจะดูว่าในบรรดาชุดคำตอบเหล่านี้ ชุดใดที่ให้ค่า ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}\in \mathbb{R}$ บ้าง
เราเขียน ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}$ แล้วแยกพิจารณาว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}={a_{n(n-2)+1}} \frac{i}{a_{n(n-1)+1}}\in \mathbb{R}$
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}=\frac{i}{a_{n(n-2)+1}} {a_{n(n-1)+1}} \in \mathbb{R}$

ดังนั้น $(a_{n(n-2)+1},a_{n(n-1)+1})\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$

เมื่อครู่เรายังไม่ได้พิจารณาว่า $a_n \not= a_{n+1}$ และ $a_{2n} \not= a_{2n+1}$ และ ... และ $a_{(n-1)n} \not= a_{(n-1)n+1}$

กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ $a_n=\frac{i}{a_1}$ ดังนั้น $a_{n+1}=a_1$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ $a_1 = a_{n+1} = ... = a_{(n-2)n+1} = a_{(n-1)n+1}$ ขัดแย้งกับที่ $(a_{n(n-2)+1},a_{n(n-1)+1})\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$ ดังนั้นกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่จึงไม่มีคำตอบเลย

กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ $a_n=a_1$ ดังนั้น $a_{n+1}=\frac{i}{a_1}$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $(a_1,a_{n+1},...,a_{(n-2)n+1},a_{(n-1)n+1})=(a_1,\frac{1}{a_1},a_1,\frac{1}{a_1},...)$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขก่อนหน้า กรณีนี้จึงมี 2 คำตอบคือ $a_1=1$ และ $a_1=i$

คราวนี้เราลองมาดูกรณีหลังบ้างนะเจ้าคะ

ถ้า $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k = a_{k+1}]$
จะได้ว่า $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[{a_k}{a_{k+1}}=\pm 1]$ (เพราะว่า $a_k \in \left\{\,1,i\right\}$)
พิจารณาสมการเงื่อนไขของ $S$ เมื่อแทนด้วย $(x,y)=(k,1)$
$$({a_k}{a_{k+1}})({a_{n+k}}{a_{n+k+1}})=-1$$
กรณี ${a_k}{a_{k+1}}= 1 \rightarrow {a_{n+k}}{a_{n+k+1}} = -1$ ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(i,i)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$
กรณี ${a_k}{a_{k+1}}= -1 \rightarrow {a_{n+k}}{a_{n+k+1}} = 1$ ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(1,1)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$
ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(1,1)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$ เสมอ ต่อไปเราจะพิสูจน์ว่า $a_{n+k-1}=\frac{i}{a_{k-1}}$
พิจารณาสมการเงื่อนไขของ $S$ เมื่อแทนด้วย $(x,y)=(k-1,1)$
$$({a_{k-1}}{a_k})({a_{n+k-1}}{a_{n+k}})=-1$$
$$a_{n+k-1}=\frac{-1}{{a_{k-1}}{a_k}{a_{n+k}}}=\frac{i^2}{a_{k-1}i}=\frac{i}{a_{k-1}}$$
ทำในทำนองเดียวกัน ท้ายสุดจะได้ว่า
$$(a_{n+1},a_{n+2},...,a_{2n})=(\frac{i}{a_1},\frac{i}{a_2},...,\frac{i}{a_n})$$
และขยายต่อไปจะได้ว่า
$$\forall k \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[(a_{(k-1)n+1},a_{(k-1)n+2},...,a_{kn})=(\frac{i}{a_{(k-2)n+1}},\frac{i}{a_{(k-2)n+2}},...,\frac{i}{a_{(k-1)n}})]$$
ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$\forall l \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[(a_l,a_{n+l},...,a_{(n-1)n+l})=(a_l,\frac{i}{a_l},a_l,\frac{i}{a_l},...)]$$
สลับกันไป
ในกรณีนี้เราจึงสามารถบรรยายชุดคำตอบ $(a_1,a_2,...a_{n^2})$ โดยใช้เพียงแค่ $(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ ได้
เราจะมาดูว่าในบรรดาชุดคำตอบเหล่านี้ ชุดใดที่ให้ค่า ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}\in \mathbb{R}$ บ้าง
เราเขียน ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}$ แล้วแยกพิจารณาว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่เหมือนกรณีก่อนหน้านี้
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}={a_{n-1}} \frac{i}{a_n}\in \mathbb{R}$
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}=\frac{i}{a_{n-1}} {a_n} \in \mathbb{R}$

ดังนั้น $(a_{n-1},a_n)\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$
นั่นคือกรณีนี้ ชุดคำตอบ $(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ จะต้องสอดคล้อง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ และมีบาง $k$ ซึ่ง $a_k=a_{k+1}$

ชุดคำตอบซึ่ง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ โดยที่ทุกๆ $k$ นั้น $a_k\not= a_{k+1}$ มีเพียง 2 ชุดคำตอบ คือชุดที่ $a_{n-1}=1$ และชุดที่ $a_{n-1}=i$ (เลือกเพียง $a_{n-1}$ แล้วก็ไล่สลับระหว่าง $1$ กับ $i$ ไม่ให้ตัวที่ติดกันเหมือนกันลงมาจนถึง $a_1$ ส่วน $a_n$ นั้นกำหนดโดยสูตรอยู่แล้ว)
ในขณะที่จำนวนชุดคำตอบทั้งหมดซึ่ง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ นั้นมีอยู่ $2^{n-1}$ ชุด
ดังนั้น ชุดคำตอบที่สอดคล้อง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ และมีบาง $k$ ซึ่ง $a_k=a_{k+1}$ จึงมีจำนวน $2^{n-1} - 2$ ชุด

รวมทั้งสองกรณี จึงต้องแยกว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ มี $2^{n-1} - 2$ ชุดคำตอบ
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ มี $2 + 2^{n-1} - 2 = 2^{n-1}$ ชุดคำตอบ
และโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์จึงเป็น $\frac{2^{n-1}-2}{2^{n^2}}$ และ $\frac{2^{n-1}}{2^{n^2}}$ ตามลำดับเจ้าค่ะ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ai-Ko

สวัสดีเจ้าค่ะ... ทำไมทำมาไหงได้คำตอบไม่เท่ากับที่โจทย์ต้องการซะนี่ รบกวนช่วยหาที่ผิด (หรือว่ายืนยันว่าถูกแล้ว) หน่อยได้มั้ยเจ้าคะ?

แรกสุดเขียนเงื่อนไขของเซต $S$ ให้ดูง่ายขึ้นเป็น $a_{n(y-1)+x}a_{n(y-1)+(x+1)}a_{ny+x}a_{ny+(x+1)}$ เสียก่อน
ให้ $(a_1,a_2,...,a_{n^2}) \in S$ จะได้ว่ามีสองกรณีก็คือ
กรณี 1 $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k \not= a_{k+1}]$
กรณี 2 $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k = a_{k+1}]$

ดูกรณีแรกก่อนนะเจ้าคะ
ถ้า $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k \not= a_{k+1}]$ จะได้ในทันทีว่า
$$(a_1,a_2,...,a_n)=(a_1,\frac{i}{a_1},a_1,\frac{i}{a_1},...)$$
สลับกันไปเรื่อยๆ
ดังนั้นจะได้ว่า ${a_1}{a_2}={a_2}{a_3}=...={a_{n-1}}{a_n}=i$
เมื่อลองแทนค่าในเงื่อนไขของ $S$ ด้วย $(x,y)=(1,1),(2,1),...,(n-1,1)$ จะได้
\[\begin{array}{cl}
({a_1}{a_2})({a_{n+1}}{a_{n+2}})= & -1\\
({a_2}{a_3})({a_{n+2}}{a_{n+3}})= & -1\\
... & \\
({a_{n-1}}{a_n})({a_{2n-1}}{a_{2n}})= & -1\\
\end{array} \]
จึงได้ว่า ${a_{n+1}}{a_{n+2}}={a_{n+2}}{a_{n+3}}=...={a_{2n-1}}{a_{2n}}=i$ ด้วย
ในทำนองเดียวกัน แทนค่าในเงื่อนไขของ $S$ ด้วย $(x,y)=(1,2),(2,2),...,(n-1,2)$ ก็จะได้ ${a_{2n+1}}{a_{2n+2}}={a_{2n+2}}{a_{2n+3}}=...={a_{3n-1}}{a_{3n}}=i$
ในกรณีทั่วไปจะได้ว่า $\forall k \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[{a_{(k-1)n+1}}{a_{(k-1)n+2}}={a_{(k-1)n+2}}{a_{(k-1)n+3}}=...={a_{kn-1}}{a_{kn}}=i]$
สังเกตชุดคำตอบของระบบสมการสำหรับแต่ละค่า $k$ นั้นกำหนดได้โดยค่าของ $a_{(k-1)n+1}$ เพียงลำพังเท่านั้น กล่าวคือ
$$(a_{(k-1)n+1},a_{(k-1)n+2},...,a_{kn})=(a_{(k-1)n+1},\frac{i}{a_{(k-1)n+1}},a_1,\frac{i}{a_{(k-1)n+1}},...)$$
ดังนั้นจึงสามารถบรรยายชุดคำตอบ $(a_1,a_2,...a_{n^2})$ โดยใช้เพียงแค่ $(a_1,a_{n+1},a_{2n+1},...,a_{n(n-1)+1})$ ได้
คราวนี้เราจะดูว่าในบรรดาชุดคำตอบเหล่านี้ ชุดใดที่ให้ค่า ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}\in \mathbb{R}$ บ้าง
เราเขียน ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}$ แล้วแยกพิจารณาว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}={a_{n(n-2)+1}} \frac{i}{a_{n(n-1)+1}}\in \mathbb{R}$
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}=\frac{i}{a_{n(n-2)+1}} {a_{n(n-1)+1}} \in \mathbb{R}$

ดังนั้น $(a_{n(n-2)+1},a_{n(n-1)+1})\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$

เมื่อครู่เรายังไม่ได้พิจารณาว่า $a_n \not= a_{n+1}$ และ $a_{2n} \not= a_{2n+1}$ และ ... และ $a_{(n-1)n} \not= a_{(n-1)n+1}$

กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ $a_n=\frac{i}{a_1}$ ดังนั้น $a_{n+1}=a_1$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ $a_1 = a_{n+1} = ... = a_{(n-2)n+1} = a_{(n-1)n+1}$ ขัดแย้งกับที่ $(a_{n(n-2)+1},a_{n(n-1)+1})\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$ ดังนั้นกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่จึงไม่มีคำตอบเลย

กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ $a_n=a_1$ ดังนั้น $a_{n+1}=\frac{i}{a_1}$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $(a_1,a_{n+1},...,a_{(n-2)n+1},a_{(n-1)n+1})=(a_1,\frac{1}{a_1},a_1,\frac{1}{a_1},...)$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขก่อนหน้า กรณีนี้จึงมี 2 คำตอบคือ $a_1=1$ และ $a_1=i$

คราวนี้เราลองมาดูกรณีหลังบ้างนะเจ้าคะ

ถ้า $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[a_k = a_{k+1}]$
จะได้ว่า $\exists k \in \left\{\,1,2,...,n-1\right\}[{a_k}{a_{k+1}}=\pm 1]$ (เพราะว่า $a_k \in \left\{\,1,i\right\}$)
พิจารณาสมการเงื่อนไขของ $S$ เมื่อแทนด้วย $(x,y)=(k,1)$
$$({a_k}{a_{k+1}})({a_{n+k}}{a_{n+k+1}})=-1$$
กรณี ${a_k}{a_{k+1}}= 1 \rightarrow {a_{n+k}}{a_{n+k+1}} = -1$ ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(i,i)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$
กรณี ${a_k}{a_{k+1}}= -1 \rightarrow {a_{n+k}}{a_{n+k+1}} = 1$ ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(1,1)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$
ดังนั้น $(a_{n+k},a_{n+k+1})=(1,1)=(\frac{i}{a_k},\frac{i}{a_{k+1}})$ เสมอ ต่อไปเราจะพิสูจน์ว่า $a_{n+k-1}=\frac{i}{a_{k-1}}$
พิจารณาสมการเงื่อนไขของ $S$ เมื่อแทนด้วย $(x,y)=(k-1,1)$
$$({a_{k-1}}{a_k})({a_{n+k-1}}{a_{n+k}})=-1$$
$$a_{n+k-1}=\frac{-1}{{a_{k-1}}{a_k}{a_{n+k}}}=\frac{i^2}{a_{k-1}i}=\frac{i}{a_{k-1}}$$
ทำในทำนองเดียวกัน ท้ายสุดจะได้ว่า
$$(a_{n+1},a_{n+2},...,a_{2n})=(\frac{i}{a_1},\frac{i}{a_2},...,\frac{i}{a_n})$$
และขยายต่อไปจะได้ว่า
$$\forall k \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[(a_{(k-1)n+1},a_{(k-1)n+2},...,a_{kn})=(\frac{i}{a_{(k-2)n+1}},\frac{i}{a_{(k-2)n+2}},...,\frac{i}{a_{(k-1)n}})]$$
ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$\forall l \in \left\{\,1,2,...,n\right\}[(a_l,a_{n+l},...,a_{(n-1)n+l})=(a_l,\frac{i}{a_l},a_l,\frac{i}{a_l},...)]$$
สลับกันไป
ในกรณีนี้เราจึงสามารถบรรยายชุดคำตอบ $(a_1,a_2,...a_{n^2})$ โดยใช้เพียงแค่ $(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ ได้
เราจะมาดูว่าในบรรดาชุดคำตอบเหล่านี้ ชุดใดที่ให้ค่า ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}\in \mathbb{R}$ บ้าง
เราเขียน ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}$ แล้วแยกพิจารณาว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่เหมือนกรณีก่อนหน้านี้
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}={a_{n-1}} \frac{i}{a_n}\in \mathbb{R}$
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ ${a_{n^2-n-1}}{a_{n^2}}={a_{n(n-2)+(n-1)}}{a_{n(n-1)+n}}=\frac{i}{a_{n-1}} {a_n} \in \mathbb{R}$

ดังนั้น $(a_{n-1},a_n)\in \left\{\,(1,i),(i,1)\right\}$
นั่นคือกรณีนี้ ชุดคำตอบ $(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$ จะต้องสอดคล้อง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ และมีบาง $k$ ซึ่ง $a_k=a_{k+1}$

ชุดคำตอบซึ่ง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ โดยที่ทุกๆ $k$ นั้น $a_k\not= a_{k+1}$ มีเพียง 2 ชุดคำตอบ คือชุดที่ $a_{n-1}=1$ และชุดที่ $a_{n-1}=i$ (เลือกเพียง $a_{n-1}$ แล้วก็ไล่สลับระหว่าง $1$ กับ $i$ ไม่ให้ตัวที่ติดกันเหมือนกันลงมาจนถึง $a_1$ ส่วน $a_n$ นั้นกำหนดโดยสูตรอยู่แล้ว)
ในขณะที่จำนวนชุดคำตอบทั้งหมดซึ่ง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ นั้นมีอยู่ $2^{n-1}$ ชุด
ดังนั้น ชุดคำตอบที่สอดคล้อง $a_{n-1}=\frac{i}{a_n}$ และมีบาง $k$ ซึ่ง $a_k=a_{k+1}$ จึงมีจำนวน $2^{n-1} - 2$ ชุด

รวมทั้งสองกรณี จึงต้องแยกว่า $n$ เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่
กรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ มี $2^{n-1} - 2$ ชุดคำตอบ
กรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ มี $2 + 2^{n-1} - 2 = 2^{n-1}$ ชุดคำตอบ
และโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์จึงเป็น $\frac{2^{n-1}-2}{2^{n^2}}$ และ $\frac{2^{n-1}}{2^{n^2}}$ ตามลำดับเจ้าค่ะ

คุณทำถูกแล้ว นี่ผมมาเช็กให้เองเลยนะเนี่ย