ช่วยเเก้โจทย์ด้วยครับ

Suwiwat B · #1 22 มิถุนายน 2009, 19:25

คือผมไม่เก่งเรื่องอสมการเลยอะครับ

ก็เลยอยากจะให้พวกพี่ๆ น้องๆ ที่เก่งเรื่องนี้ช่วยทำโจทย์ข้อนี้ด้วยครับ

ผมนั่งวิปัสสนากับข้อนี้มา 2 ชม. เเล้วอะครับ คิดไม่ออก

ให้ $ a,b,c,d,e $ เป็นจำนวนจริงที่มีสมบัติว่า

$a + b + c + d + e = 8 , a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 16$

จงหาค่าสูงสุดของ e

เห็นเขาบอกว่าใช้อสมการ Cauchy-Schwarz ออก ไม่ทราบว่าทำยังไงอะครับ

gon · #2 22 มิถุนายน 2009, 20:29

โจทย์ข้อนี้เก่าแก่มากครับ ผมเคยทำตอนอยู่ ม.6 เมื่อ 16 ปีก่อน เป็นข้อสอบ USAMO 1978

จากอสมการโคชี $(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (a+b+c+d)^2$

ดังนั้น $4(16-e^2) \ge (8-e)^2 \iff e(5e-16) \le 0$

นั่นคือ $0 \le e \le 16/5$

(เกิดค่าสูงสุดของ e เมื่อ a = b = c = d = 6/5) ได้ e สูงสุด = 16/5

Suwiwat B · #3 23 มิถุนายน 2009, 20:12

ขอบคุณ คุณ gon มากนะครับ