Intigrate

[Pythagoras]

1. จงหา $$\int x{tan^2x}dx$$

2. การอินทิเกรตโดยการแทนค่า ตอน ให้ ตัวแปรหนึ่ง เป็น อีกตัวแปรหนึ่ง มีเงื่อนไขอะไรที่เราต้องคำนึงถึงไหมครับ อย่าง การเปลี่ยนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง อะไรทำนองนั้น หรือไม่มี

เช่น

$$\int {(x^3+x)}{\sqrt{1+x^2}} dx$$

[Sol] ให้ $$t = 1+x^2$$
$$\frac{dt}{dx} = 2x$$
$$ \frac{1}{2}dt = x dx $$
จาก $\int {(x^3+x)}{\sqrt{1+x^2}} dx$ = $\int {x(x^2+1)}{\sqrt{1+x^2}} dx$

= $\int {(x^2+1)}{\sqrt{1+x^2}}x dx$ = $\int {(t)}{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt$

= $\int \frac{1}{2} t^{\frac{3}{2}} dt$ = $\frac{1}{5}t^{\frac{5}{2}} $

ดังนั้นจะได้ $$\int {(x^3+x)}{\sqrt{1+x^2}} dx = {\frac{1}{5}}{(1+x^2)}^2\sqrt{1+x^2} + C_1 $$ เมื่อ $C_1$ เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต

หรือ

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4} } $$

ให้ $t = x + \sqrt{x^2+4} (t>0)$

ทำไปเรื่อยๆก็จะได้ $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4} } $ = $\ln{(x + \sqrt{x^2+4})} + C_2 $
เมื่อ $C_2$ เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต

ตรง ที่ ให้ t = ... มีเงื่อนไขอะไรที่เราต้องคำนึงถึงไหมครับ หรือ อยากให้มันเท่ากับอะไร ก็ให้ไปเลย เอาการคิดให้ง่ายขึ้น ว่าเข้าไว้

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[-InnoXenT-]

ข้อ 1. ใช้ By part

ให้ $u = x$ ---> $du = dx$
$dv = \tan^2{x}dx$ ---> $v = \tan{x} - x$

ดังนั้น $\int x\tan^2{x} dx = x(\tan{x}-x) - \int (\tan{x} - x) dx$

แล้วก็อินทิเกรต ต่อได้ละ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pythagoras

ตรง ที่ ให้ t = ... มีเงื่อนไขอะไรที่เราต้องคำนึงถึงไหมครับ หรือ อยากให้มันเท่ากับอะไร ก็ให้ไปเลย เอาการคิดให้ง่ายขึ้น ว่าเข้าไว้

มีแค่ว่าถ้าให้ t=g[x] แล้วต้องเป็นฟังก์ชั่นที่หาอนุพันธ์ได้ ตลอดช่วง I และ f เป็นฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องบนช่วง I แล้วถึงใช้การแทนค่าแบบนี้ได้ครับ

เดิมแล้วกฏนี้ก็พิสูจน์มาจาก chain rule ธรรมดา เงื่อนไขจึงเหมือนกับตอนใช้ chain rule

อ่อ อีกอย่าง Integrate นะครับไม่ใช่ Intigrate

หมายเหตุ: $ I\subseteq D_{f} $

[Pythagoras]

ขอบคุณครับ สำหรับ คำตอบ และ คำแก้ "อินทิเกรต"

ผมสับสนตรง ที่ ให้ $ t = g[x] $ แล้ว f มันคือ ตัวไหน หรอครับ I เป็นสับเซตของ โดเมน อันไหนหรอครับ

ขออีกสักข้อ
$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1} }$$

ถ้าทำโดยวิธี ให้ $x = tan\theta $ แล้วมันจะเป็นยังไง หรอครับ เพราะ ถ้าให้ $ t = x + \sqrt{x^2+1} $ ผมก็เข้าใจว่า มันก็จบเหมือนกัน ง่ายกว่าด้วย แต่อยากทราบวิธีที่หลากหลายครับ

ขอบคุณล่วงหน้า

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pythagoras

ขอบคุณครับ สำหรับ คำตอบ และ คำแก้ "อินทิเกรต"

ผมสับสนตรง ที่ ให้ $ t = g[x] $ แล้ว f มันคือ ตัวไหน หรอครับ I เป็นสับเซตของ โดเมน อันไหนหรอครับ

ขออีกสักข้อ
$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1} }$$

ถ้าทำโดยวิธี ให้ $x = tan\theta $ แล้วมันจะเป็นยังไง หรอครับ เพราะ ถ้าให้ $ t = x + \sqrt{x^2+1} $ ผมก็เข้าใจว่า มันก็จบเหมือนกัน ง่ายกว่าด้วย แต่อยากทราบวิธีที่หลากหลายครับ

ขอบคุณล่วงหน้า

g,f,I อยู่ตรงไหนดูในลิงค์นี้ประกอบครับจะเข้าใจมากขึ้น

http://en.wikipedia.org/wiki/Integra...y_substitution

ส่วนวิธีการทำนั้น ไม่ได้กำหนดว่าจะต้องสมมติแบบไหน เท่าที่เคยเรียนเพียงแต่มีแนวคิด(เทคนิค) ในการสมมติตัวแปรให้อินทีเกรตออกก็แค่นั้น

ส่วนที่ว่า $x = tan\theta $ แล้วมันจะเป็นยังไง ก็คงต้องลองอินทีเกรตดูเองละครับ ผมขี้เกียจ

แต่ถ้าเป็นผม ผมจะให้ $z=\sqrt{x^2+1} $ (เป็นอีก1วิธี)