ปัญหาข้อที่ 14

[gon]

จงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง x, y, z ที่ทำให้
x² + 4yz + 2z = 0
x + 2xy + 2z² = 0
2xz + y² + y + 1 = 0

[Hell]

x2 + 4yz + 2z = 0
x=sqrt[(2z)(-2y-1)]..(1)

x + 2xy + 2z^2 = 0
z=sqrt[(x/2)(-2y-1)]..(2)

(1)*(2)
sqrt(xz)=|-2y-1|..(3)

2xz + y^2 + y + 1 = 0 จาก (3)
0=2(2y+1)^2+y^2+y+1
=8y^2+8y+2+y^2+y+1
=9y^2+9y+3
=(3y+1)^2+3y+2..(4)
>=3y+2
.: y=-2/3
แทนใน(4) ไม่เท่ากับ 0 //

สมมติว่ามีจำนวนจริง x, y, z
จาก (1): z(2y+1) <= 0
จาก (2): x(2y+1) <= 0
ดังนั้น xz(2y+1)² >= 0

จาก (3): y² + y + (2xz + 1) = 0
แสดงว่า 1 >= 4(2xz + 1)
xz <= -3/8 เป็นลบ
ดังนั้น y = -1/2
จึงได้ x = z = 0 ด้วย แต่ไม่สอดคล้อง