ข้อสอบสมาคมม.ปลายปี2552

[Ne[S]zA]

ขอวิธีทำข้อ 35 หน่อยครับ
35.จงหาค่าของ
$$\int_0^{\pi} \sin ^4 (x+\sin 3x) dx$$

[nooonuii]

35. $\dfrac{3\pi}{8}$

$\sin^4{A}=\Big(\dfrac{1-\cos{2A}}{2}\Big)^2$

$~~~~~=\dfrac{1-2\cos{2A}+\cos^2{2A}}{4}$

$~~~~~=\dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos{2A}}{2}+\dfrac{\cos{4A}}{8}$

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

35. $\dfrac{3\pi}{8}$

$\sin^4{A}=\Big(\dfrac{1-\cos{2A}}{2}\Big)^2$

$~~~~~=\dfrac{1-2\cos{2A}+\cos^2{2A}}{4}$

$~~~~~=\dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos{2A}}{2}+\dfrac{\cos{4A}}{8}$

ช่วยอธิบายมากกว่านี้ได้ไหมครับ

[The jumpers]

ดูท่าทางม.ปลายยากน่าดู เเค่ข้อเเรกก้อบ๊ายบายเเล้ว(เเล้วปีหน้าจะรอดมั้ยเนี่ยTT)

[Ne[S]zA]

ยังคงมองไม่ออกครับคุณ nooonuii
ขอมากกว่านี้หน่อยจะได้ไหมครับ
ขอบคุณครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

35. $\dfrac{3\pi}{8}$

$\sin^4{A}=\Big(\dfrac{1-\cos{2A}}{2}\Big)^2$

$~~~~~=\dfrac{1-2\cos{2A}+\cos^2{2A}}{4}$

$~~~~~=\dfrac{3}{8}-\dfrac{\cos{2A}}{2}+\dfrac{\cos{4A}}{8}$

ลองผิดลองถูกมาหลายวิธีแล้วครับ อันนี้ก็วิธีนึงแต่ติดตรงมุมอ่ะครับ ไปต่อไงอ่ะ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

ทำได้แต่ กากบาท ครับ เติมคำนี้ -*- เฮ้อ
ลองตรวจดูนะคับ ช่วยแก้ด้วยเน้อ

1. ง.
2. ค.
3. ค. ไม่แน่ใจอ่ะข้อนี้ ง
4. ข.
5. ก. ข
6. ข.
7. ง.
8. ก.
9. ก. ค
10. ง. ก
11. ง.
12. ข. ก
13. ข.
14. ข.
15. ค.

แหะๆ ผิดก็ช่วยบอกด้วยนะค้าบ

ข้อที่ไม่ตรงกันคือ
3. ง.
5. ข.
9. ค.
10. ก.
12. ก
คิดไงบ้างครับ
ปล. ข้อ 13 กับ 15 ทำไม่ได้อ่ะครับ

[Bonegun]

ข้อ 3. นี้ คิดดูอีกทีผมว่า ก็ถ้าจะ ง.ครับ ไม่นับเซตว่างใช่ป่ะ -*-

ข้อ 5. ผมได้ จุดศูนย์กลางวงกลมคือ (2,-1) อ่ะครับ
สมการวงกลม $(x-2)^2+(y+1)^2=8$
มันเลยมีพจน์ +2y

ข้อ 9 -*- ผมผิดจริงๆด้วยครับ 555 เผลอไปสลับเศษส่วน (ซวยโคตร)
ข้อ 10. ยังไม่ได้ลองตรวจดูนะฮะ โทษที

ข้อ 12 ผมได้สมการเส้นตั้งฉากเป็น y=x-1 อ่ะครับ

[[SIL]]

ข้อ 5 ผมได้ $r = \sqrt{2}$ อ่ะครับ (พลาดนิยามแน่ๆเลยผม TT)
ข้อ 12 ได้สมการเส้นตั้งฉากเหมือนกัน แต่ผมแทนค่าผิด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ลองผิดลองถูกมาหลายวิธีแล้วครับ อันนี้ก็วิธีนึงแต่ติดตรงมุมอ่ะครับ ไปต่อไงอ่ะ

I still don't know how to get the answer krub.

But the answer is $\dfrac{3\pi}{8}$ from Maple.

We must show that

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos(4x+4\sin{3x})\,dx=4\int_0^{\pi}\cos{(2x+2\sin{3x}})\,dx}$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

I still don't know how to get the answer krub.

But the answer is $\dfrac{3\pi}{8}$ from Maple.

We must show that

$\displaystyle{\int_0^{\pi}\cos(4x+4\sin{3x})\,dx=4\int_0^{\pi}\cos{(2x+2\sin{3x}})\,dx}$

ใช้การอ้างอิงจากกราฟได้มั๊ยครับ

แล้วดู คาบ ของกราฟ เอาอ่ะ ไม่แน่ใจ

[gon]

[nooonuii]

ขอคารวะพี่ Gon 3 จอกครับ

[passer-by]

มาเติมวิธีคิดบางข้อให้ครับ

(1) ข้อที่เป็น arccot

Guideline : ถ้าให้ $ F_n$ แทน ลำดับ Fibonacci โดย $ F_0 = F_1 =1 $ และ $ F_{n+1}=F_n + F_{n-1}$

แล้ว $a_1= F_4 \,\, ,a_2= F_6 \,\, ,a_3= F_8 \,\, ,a_4= F_{10} \cdots $

นอกจากนี้ เรายังได้ความสัมพันธ์ $ arccot (F_{2n}) = arccot (F_{2n-1}) -arccot (F_{2n+1}) $

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วล่ะครับ

หมายเหตุ:ข้อนี้ต้องพึ่งสมบัติของลำดับฟิโบนักซีที่ว่า $ F_{2n}^2 = F_{2n-1}F_{2n+1}+1$ และสูตร $\cot(A-B) $ )

(2) ข้อขอบโต๊ะไฮเพอร์โบลา
Guideline : ข้อนี้ ผมอาศัย สมบัติทาง optic ของไฮเพอร์โบลา ที่บอกว่า " ถ้ายิงลำแสงจากโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลาไปชนกราฟ แล้ว รังสีของแสงที่สะท้อนออก สามารถลากไปตัดโฟกัสอีกจุดได้"

ที่เหลือก็ใช้ปีธาโกรัส และคุณสมบัติที่ว่า $ |PF_1- PF_2| = 2a $ ของนิยามไฮเพอร์โบลา แก้สมการอีกนิดหน่อยก็น่าจะโอเคแล้วครับ (ในความรู้สึกผม มันยากแค่ตรง optic property นี่แหละ )

(3) ข้อจำนวนจินตภาพ 3 จำนวน
Guideline : จากสมการ $ z_1 \omega^2 + z_2 \omega +z_3 =0 $ และ $\omega^2+ \omega +1 =0 $ ทำให้ได้สมการ $ \omega = \frac{z_1-z_3}{z_2-z_1}$

และถ้าเราคูณสมการที่โจทย์ให้มาด้วย $ \omega$ และ $ \omega^2$ แล้ว apply สมบัติของ $ \omega$ ในบรรทัดข้างต้น ก็จะได้อีก 2 สมการ คือ $ \omega = \frac{z_2-z_1}{z_3-z_2}$ และ $\omega = \frac{z_3-z_2}{z_1-z_3}$

ใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้ง 2 ข้างให้กับ 3 สมการใหม่ที่ได้มา พบว่า $ |z_1-z_3| =|z_2-z_1| = |z_3-z_2| $

ในแง่ของเรขาคณิต แสดงว่า ถ้า C เป็นวงกลมจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และรัศมี 2 หน่วย แล้ว พิกัดของ $z_i$ ทั้ง 3 ตัวอยู่ห่างเท่ากันหมดบนเส้นรอบวง เกิดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งมีความยาวด้าน $ 2\sqrt{3}$ (เพราะรู้รัศมีวงกลมและมุมที่จุดศูนย์กลางที่บีบด้านของสามเหลี่ยมอยู่)

ดังนั้น ถ้า $ z_i = 2(\cos \theta_i + i \sin\theta_i) $ แล้วลองแทนค่ารูปแบบเชิงขั้วนี้ในสมการ
$|z_3-z_2|= 2\sqrt{3}$ จะได้ $ \cos (\theta_2- \theta_3) = -\frac{1}{2}$

กลับไปดูสิ่งที่โจทย์ถาม แล้วก็ลองแทนรูปแบบเชิงขั้วลงไป และค่าที่เราคำนวณได้ล่าสุดลงไป ก็จะได้คำตอบครับ

(4) ข้ออินทิเกรต

ผมเสนออีกวิธีนะครับ อาจจะมีกลิ่นอายของแคลคูลัสปี 1 หน่อยๆ

จาก post ก่อนๆ พอจะเห็นได้ว่า ปัญหาที่ค้างอยู่ตอนนี้ คือการหาค่า $ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx $ และ $ I_2= \int_0^ \pi \cos(4x+4\sin 3x) \,\, dx $

ผมจะทำตรง $ I_1$ ให้ดูอย่างเดียวนะครับ เพราะอีกตัวก็ทำวิธีเดียวกัน

เนื่องจาก $\int_0^ a f(x) \,\, dx = \int_0^a f(a-x)\,\, dx $ ดังนั้น

$ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx = \int_0^ \pi \cos(2x-2\sin 3x) \,\, dx $

ทำให้เราได้สมการ $ I_1 + I_1 = \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) + \cos(2x-2\sin 3x)\,\, dx $

ซึ่ง simplify ได้เป็น $ I_1= \int_0^\pi \cos(2x)\cos(2\sin 3x)\,\, dx$

จากนั้น อาศัย Maclaurin series ของ cos(x) มาช่วย ทำให้เราได้สมการด้านล่างนี้ครับ

$ I_1 = \int_0^\pi \cos(2x)(1-\frac{(2\sin 3x)^2}{2!} +\frac{(2\sin 3x)^4}{4!} -\frac{(2\sin 3x)^6}{6!}+\cdots )\,\, dx$

จากนั้นก็ integrate term by term เลยครับ ซึ่งพบว่าจะเกิด integrand ในรูปแบบ $ \int_0^ \pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx$ ซึ่งหาคำตอบได้ไม่ยากครับ และได้ค่า 0 เสมอ

p.s. ผมอยากเห็นวิธีทำข้อที่ทุก vector ในเซต แตกออกเป็น 2 vectors ย่อยได้จังเลยครับ

[หยินหยาง]

วันนี้เป็นที่รวมเทพเลยเชียว ต้องบอกว่าสุดยอดครับ แต่ที่อยากเห็นคือ ทางสมาคมจะเฉลยข้อนี้อย่างไรที่ไม่เกินหลักสูตร เห็นที่ต้องติดตามดูซะแล้ว ว่า อ.ไพศาล จะเฉลยด้วยวิธีไหนกันแน่