ข้อสอบสมาคมม.ปลายปี2552

[[SIL]]

เหลือวิธีของคุณ Rose Joker ครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

มาเติมวิธีคิดบางข้อให้ครับ

p.s. ผมอยากเห็นวิธีทำข้อที่ทุก vector ในเซต แตกออกเป็น 2 vectors ย่อยได้จังเลยครับ

ข้อ.29 เซต A มีจำนวนสมาชิกน้อยที่สุด 6 ตัว (อธิบายยากมาก) ดูรูปก็แล้วกันครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

...
จากนั้นก็ integrate term by term เลยครับ ซึ่งพบว่าจะเกิด integrand ในรูปแบบ $ \int_0^ \pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx$ ซึ่งหาคำตอบได้ไม่ยากครับ และได้ค่า 0 เสมอ...

ช่วยอธิบายวิธ๊การหา ได้ไหมครับ ผมยังงงๆอยู่
ขอขอบคุณล่วงหน้า

[passer-by]

ขอบคุณคุณ puriwatt สำหรับ ตัวอย่างในเชิงเรขาคณิตนะครับ

พอดีผมเพิ่งปิ๊งไอเดียเมื่อคืนนี้เองครับ วิธีของผมเป็นแบบนี้

อันดับแรกจะพิสูจน์ก่อนว่า เซตนี้ต้องมีสมาชิกอย่างน้อย 6 ตัว
ให้ $ x_1 \,\, ,x_2\,\, ,x_3,\dots ,x_n $ แทน x-component ของ เวกเตอร์ $ \vec{v_1} \,\, ,\vec{v_2} \,\, ,\vec{v_3} \,\, ,\dots ,\vec{v_n} $ ( x-component ในที่นี้ของผม หมายความว่า สปส.ที่ติดกับเวกเตอร์ i เวลาเราเขียนในรูปผลบวกเชิงเส้นของ i,j,k น่ะครับ)

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $ x_1 $ น้อยสุด และ $ x_n $ มากสุด

Claim: $x_1 < 0 $ และ $ x_n > 0 $

พิสูจน์ : จะพิสูจน์เฉพาะกรณี $ x_1$ อย่างเดียว อีกกรณีทำในลักษณะคล้ายกัน

By contradiction, $ x_1 \geq 0 $

จากสมมติฐานของโจทย์ $ x_1 = x_j+ x_k $ สำหรับบาง j,k

ถ้า $ x_j < 0 $ แสดงว่า $ x_j < x_1$ ขัดแย้งกับที่บอกว่า $ x_1$ น้อยสุด

ถ้า $ x_j \geq 0 $ แสดงว่า $ x_k < x_1$ หรือ $ x_j < x_1$ ซึ่งไม่ว่าเป็นแบบใดก็ขัดแย้งกับ $ x_1$ น้อยสุด เช่นกัน #
-------------------------------------------------------------------------------------

จากการพิสูจน์ ยัง imply ได้ว่า $x_1$ จะต้องมาจาก x-component ที่เป็นลบ(หรือ 0) มาบวกกัน

ส่วน $x_n $ ก็ต้องมาจาก x-component ที่เป็นบวก(หรือ 0) มาบวกกัน

ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์ขั้นต่ำในเซต จะต้องมี 6 ตัว ( 3 ตัวสำหรับกรณี $x_1$ และอีก 3ตัว สำหรับกรณี $x_n$)

หมายเหตุ : บางคน อาจจะสงสัยว่า มันอาจจะเกิดกรณี
(1) x-component เป็น -3,-3,0,3,3 ซึ่งก็น่าจะทำให้เหลือแค่ 5 เวกเตอร์ หรือ
(2) x-component เป็น 0,0,0,1,1,2 ซึ่งเป็น 6 vector แต่ขัดแย้งกับ claim ที่พิสูจน์ไว้ข้างต้น

แต่ทั้ง 2 กรณีนี้ไม่เกิดครับ ไม่เชื่อลองสมมติ nonzero y-component ที่ correspond กับ x-component ที่เป็น 0 ดูก็ได้ครับ
-------------------------------------------------------------------------------------

ส่วนตัวอย่างที่ยืนยันว่า 6 เป็นจริงที่ผมนึกได้คือ เซตด้านล่างนี้ครับ

$ \{ -3\vec{v}\,\, ,-2\vec{v}\,\, ,-\vec{v}\,\, ,\vec{v}\,\, ,2\vec{v}\,\, ,3\vec{v} \} $

เมื่อ $ \vec{v} = \bmatrix{1 & 1 & 1 }^T $

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

ช่วยอธิบายวิธ๊การหา ได้ไหมครับ ผมยังงงๆอยู่
ขอขอบคุณล่วงหน้า

$ \int_0^\pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx = \int_0^\pi \cos 2x (\frac{(1-\cos 6x)^k}{2}) \,\, dx $

จากนั้นก็ลองใช้ทวินาม กระจายออกมาครับ

พอกระจายเสร็จ ก็ลองใช้สูตรตรีโกณมิติจัดรูปใหม่ ให้เลขยกกำลัง ที่ติดมากับ cos ทั้งหมดหายไป จนท้ายที่สุด integrand ตัวนี้จะมีแต่เทอมในรูปแบบ $ \cos mx $ เมื่อ m เป็นเลขคู่ทุกเทอมครับ ซึ่งโดยปกติ $ \int_0^ \pi \cos mx \,\, dx =0$ เมื่อ m เป็นจำนวนนับ

p.s. ผมว่าวิธีพี่ gon เป็น ม.ปลายที่สุดแล้วล่ะครับ ส่วนผมแค่เสนออีกทางเลือกไว้เท่านั้นเอง

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

เหลือวิธีของคุณ Rose Joker ครับ

ผมพิมพ์ไปฮาๆ เฉยๆครับ ระดับผมคิดไม่ออกหรอกครับ โจทย์ยากขนาดนี้ แค่ในห้องสอบผมตัด $sin3x$ ไปแล้วอินติเกรต แค่ $sin^4x$ ไปหน่ะครับ แล้วมันตรงพอดีหลังจากที่กลับมาเช็คที่บ้านหน่ะครับ
ขอคารวะคุณ gon เลยครับ

[warut]

โจทย์ข้อ 35. นี่ผมเจอโดยบังเอิญ คือเข้ามาเพื่ิอจะส่ง pm ให้คุณ nooonuii โดยมองหาข้อความของคุณ nooonuii แล้วไปสะดุดที่ "I still don't know how to get the answer krub." เลยหันมาสนใจเรื่องนี้ก่อน เอาไปลองทำอยู่ราว 2 วัน ก็ทำไม่ได้ หมดปัญญาเลยไปถามเหล่าผู้รู้ครับ (ผมคงไม่สนใจขนาดนี้ ถ้าเป็นคำถาม no-name หรือคำถามระดับ Putnam แต่นี่เป็นโจทย์ทางการแค่ระดับ ม.ปลาย เลยทำให้อยากรู้เป็นพิเศษ อีกอย่างคือ ตอนนั้นก็ยังไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย) ผู้รู้ท่านหนึ่งบอกผมว่า โจทย์ข้อนี้มีคนถามที่ sci.math ไปตั้งแต่ 22 พ.ย. แล้ว และในวันเดียวกัน Robert Israel ก็มาตอบโดยใช้ residue calculus ต่อมา Leon Aigret ก็มาตอบแบบ elementary ซึ่ง derived มาจากวิธีของ Robert Israel อีกที คำตอบของ Leon Aigret จะเป็นแนวเดียวกับของคุณ gon ครับ

ใครทำข้อนี้ได้ถือว่าเยี่ยมครับ แต่คนที่คิดสร้างโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาได้ ยิ่งเหนือชั้นขึ้นไปอีก

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ผมพิมพ์ไปฮาๆ เฉยๆครับ ระดับผมคิดไม่ออกหรอกครับ โจทย์ยากขนาดนี้ แค่ในห้องสอบผมตัด $sin3x$ ไปแล้วอินติเกรต แค่ $sin^4x$ ไปหน่ะครับ แล้วมันตรงพอดีหลังจากที่กลับมาเช็คที่บ้านหน่ะครับ
ขอคารวะคุณ gon เลยครับ

จะยืมไปใช้บ้างครับ
สำหรับผมแล้วยังไม่มี solution ที่น่าอ่านเลยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut

ใครทำข้อนี้ได้ถือว่าเยี่ยมครับ แต่คนที่คิดสร้างโจทย์ข้อนี้ขึ้นมาได้ ยิ่งเหนือชั้นขึ้นไปอีก

เห็นด้วยครับ แต่คนที่เดาถูกนี่ซิน่าจะอยู่ดาดฟ้าแน่เลย

[jabza]

ผมอยากรู้คำตอบข้อที่ให้หา$f(2552)$อ่าคับ

ผมลองทำไปทำมา มันได้$\frac{2010}{2553} $ ช่างเป็นคำตอบที่สวยงามจริงๆ

[[SIL]]

ถ้าจำไม่ผิดผมได้ $\frac{2552(2009^2-1)}{2009(2552^2-1)}$ ครับ (telescoping)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ส่วนตัวอย่างที่ยืนยันว่า 6 เป็นจริงที่ผมนึกได้คือ เซตด้านล่างนี้ครับ

$ \{ -3\vec{v}\,\, ,-2\vec{v}\,\, ,-\vec{v}\,\, ,\vec{v}\,\, ,2\vec{v}\,\, ,3\vec{v} \} $

เมื่อ $ \vec{v} = \bmatrix{1 & 1 & 1 }^T $

ผมก็ได้ $6$ ตัว แต่ว่าวิธีคิดค่อนข้างถึกเพราะแยกกรณีเอาครับ

เซตที่มีสมาชิก $6$ ตัวที่ผมคิดไว้คือ

$A=\{\pm v_1,\pm v_2,\pm (v_1+v_2)\}$

เมื่อทุกตัวเป็น nonzero vector ที่ต่างกัน

[GunUltimateID]

อยากรู้วิธีทำข้อ matrix ข้อที่ 31 ครับ ช่วยที

[GunUltimateID]

ข้อ 31 ผมกระจายกำลัง3ออกได้คำตอบ -3095
ใครมีวิธีดีกว่านี้บ้างไหมครับ

[Suwiwat B]

นึกไม่ออกเลยอะ ยากมากเลย แต่ข้อ 35 ไม่มีวิธีที่ไม่เกินหลักสูตรเเล้วเหรอครับ ถึงกับใช้อนุกรมแมคลอรินเลย ผมก็พยายามคิดอยู่เเต่ไม่มีความคิดดีๆเลยครับ