|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันและสมภาคครับ
สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆจงแสดงว่า
$\sum_{d = 1}^{n}\ Phi (n)\left\lfloor\,n/d\right\rfloor=n(n+1)/2$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\succ 2$ จงแสดงว่า $\Phi (n^2) + \Phi ((n+1)^2)\leqslant 2n^2$ จงพิสูจน์ว่าแต่ละสมภาคตอไปนี้ $x^{(p-1)/2}-1\equiv 0(mod p),((x^{p-1/2}+1 \equiv 0 \pmod{p} ))$ มีราก(มอดุโล p) จำนวน (p-1)/2 รากเท่ากัน เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 ขอบคุณล่วงหน้าครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 26 กันยายน 2009 17:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนประกอบ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
รบกวนช่วยพิสูจน์ว่า $\phi(n)\leq n-\sqrt{n}$
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนประกอบ หน่อยได้ไหมครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\phi(n)=n\Big(1-\dfrac{1}{p_1}\Big)\cdots\Big(1-\dfrac{1}{p_k}\Big)$ $\leq n(1-\dfrac{1}{p})$ $\leq n-\sqrt{n}$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
อ๋อได้แล้วครับ
รบกวน้อ มอดุโลได้ไหมครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... |
#6
|
|||
|
|||
ยังงงๆกับโจทย์ข้อแรกอยู่เลยครับ
ตรง $\phi(n)$ นี่คือ $\phi(d)$ หรือเปล่าครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
สำหรับข้อที่ 3 นะครับ
Step1: จาก Fermat’s theorem เราจะได้ว่า สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$ $x^p \equiv x (mod p) $ และถ้า $(x,p)=1$ จะได้ว่า $x^{p-1} \equiv 1 (mod p)$ นั่นคือ $(x^{\frac{p-1}{2}}-1)( x^{\frac{p-1}{2}}+1)\equiv 0 (mod p)$ ดังนั้น $ x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$-----(1) หรือ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$-----(2) นอกจากนั้น จาก $p> 2$ จะได้ว่า $x$ ไม่มีทางที่จะสอดคล้อง (1)และ(2)พร้อมๆกันได้ (ถ้าไม่เช่นนั้น สังเกต (1)+(2): $2x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 0 (mod p)$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้) Step2: ข้างล่าง จะแสดงว่า “ $x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2\equiv x (mod p)$” “ขาไป” สมมติ $x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0 (mod p)$ จะได้ว่า $p \nmid x$ หลังจากนั้นพิจารณา สมการ $ay\equiv x (mod p)$ จาก $p \nmid x$ จะได้ว่า สำหรับทุก $1\leqslant a \leqslant p-1$ มี $y=y_a \in \{1,2,…,p-1\}$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $ay\equiv x (mod p)$ สมมติ ถ้าไม่มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2 \equiv x (mod p)$ พิจารณาการจับคู่ของจำนวนในเซต $\{1,2,…,p-1\}$ โดยเราจะสามารถจับคู่ระหว่าง $a$ กับ $y_a$ ซึ่งจะจับคู่กันได้$\frac{p-1}{2}$คู่พอดี ทำให้ได้ว่า $(p-1)! \equiv x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 (mod p)$ ซึ่งขัดแย้งกับ Wilson’s theorem : $(p-1)! \equiv -1 (mod p)$ ดังนั้น จึงได้ว่า มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2\equiv x (mod p)$ “ขากลับ” สมมติ มีจำนวนเต็ม $y_0$ ที่ทำให้ ${y_0}^2 \equiv x (mod p)$ จะได้ว่า ${y_0}^{p-1} \equiv x^{\frac{p-1}{2}} (mod p)$ จาก $p \nmid x$ ดังนั้น $p \nmid y_0$ จาก Fermat’s theorem ได้ว่า ${y_0}^{p-1} \equiv 1(mod p)$ ดังนั้น $x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 (mod p)$ Step3: ต่อไป จะแสดงว่า “มี $x \in \{1,2,…,p-1\}$ อยู่ $\frac{p-1}{2}$ ตัวพอดีที่จะทำให้ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ $y^2 \equiv x (mod p)$ ” ที่จริงแล้ว พิจารณา $y=-\frac{p-1}{2},-\frac{p-1}{2}+1,…,-1,1,…,\frac{p-1}{2}-1, \frac{p-1}{2}$ ( นี่คือค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่ไม่คอนกรูเอนซ์กัน mod p ของ $y$) จึงได้ว่า $x \equiv (-\frac{p-1}{2})^2,(-\frac{p-1}{2}+1)^2,…,(-1)^2,1^2,…,(\frac{p-1}{2}-1)^2,( \frac{p-1}{2})^2 (mod p)$ นั่นคือ $x \equiv 1^2,…,(\frac{p-1}{2}-1)^2,( \frac{p-1}{2})^2 (mod p)$ โดยที่ ทุก $1\leqslant i < j \leqslant \frac{p-1}{2} ,$ $i^2 \not\equiv j^2 (mod p)$ ดังนั้น มี $x \in \{1,2,…,p-1\}$ อยู่ $\frac{p-1}{2}$ ตัวพอดีที่จะทำให้ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ $y^2\equiv x (mod p)$ จาก Step1,2,3 จะได้ว่า $ x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$ มีราก(มอดุโล p) อยู่ $\frac{p-1}{2}$รากพอดี และจาก Step1 เราได้แสดงแล้วว่า ทุก $x$ ถ้า $p \nmid x$ แล้ว $x$ จะต้องสอดคล้อง (1) หรือ (2) สมการใดสมการหนึ่ง (และสอดคล้องพร้อมกันไม่ได้) ดังนั้น ถ้า $x \in \{1,2,…,p-1\}$ ไม่ใช่รากของ $ x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0 (mod p)$ ก็จะต้องเป็นรากของ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$ นั่นคือ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$ มีราก(มอดุโล p) อยู่ $(p-1)-\frac{p-1}{2}=\frac{p-1}{2}$รากพอดี |
#8
|
||||
|
||||
สำหรับข้อแรกนะครับ
ผมเห็นด้วยกับคุณ nooonuii ครับว่า ตรง $\phi(n)$ควรจะเป็น $\phi(d)$ ก่อนอื่น จะแสดงก่อนว่า $\{(x,y) \in \aleph \times \aleph |1\leqslant y\leqslant x\leqslant n \}=\{(id,(\sum_{m\mid id, m<d } \phi(m)) +j) | 1\leqslant d\leqslant n , 1\leqslant i\leqslant \left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor,0< j\leqslant \phi(d) \}$ เพื่อความสะดวก กำหนดให้ $A=\{(x,y) \in \aleph \times \aleph |1\leqslant y\leqslant x\leqslant n \}$ $B=\{(id,(\sum_{m\mid id, m<d } \phi(m)) +j) | 1\leqslant d\leqslant n , 1\leqslant i\leqslant \left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor,0< j\leqslant \phi(d) \}$ (ถ้างงว่าเซต B คืออะไร ก็ลองวาดกราฟออกมาดูนะครับ แล้วจะเห็นชัดขึ้น) พิสูจน์ : ก่อนอื่น ง่ายที่จะแสดงว่า $B\subseteq A$ (ใช้ $\sum_{m \mid x}\phi(m) = x$) ต่อไป จะแสดงว่า $A \subseteq B$ ทุก $(x',y') \in A$ เนื่องจาก $\sum_{m \mid x'}\phi(m) =x'$ และ $1\leqslant y' \leqslant x'$ จะได้ว่า มี $d \in \{1,2,...,n\}$ ซึ่ง $d \mid x'$ ที่ทำให้ $\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)< y' \leqslant \sum_{m\mid x', m\leqslant d } \phi(m))$ $(x',y') = ((\frac{x'}{d})d,\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)+(y'-\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m))) \in B$ (หมายเหตุ:ลองเลือก $i= \frac{x'}{d} , j= y'-\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)$) นั่นคือ $A \subseteq B$ ดังนั้น $A=B$ และเนื่องจาก $\#A= \frac{n(n+1)}{2}$ $\#B= \sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor $ จึงได้ว่า $\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor $ 10 ตุลาคม 2009 21:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ picmy |
#9
|
|||
|
|||
ขอเสริมข้อ 3 ด้วยว่า จริงๆแล้วมันมีทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวไว้ว่า:
ให้ m เป็นจำนวนเต็มบวกที่มี primitive root ถ้า k เป็นจำนวนเต็มบวกและ a เป็นจำนวนเต็มที่ $(a,m)=1$ แล้วสมการ $x^k\equiv a\pmod{m}$ จะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ $a^{\frac{\phi(m)}{d}}\equiv 1\pmod{m}$ เมื่อ $d=(k,\phi(m))$ นอกจากนี้ ถ้าสมการ $x^k\equiv a\pmod{m}$ มีคำตอบ แล้วสมการนี้จะมีคำตอบที่ไม่คอนกรูเอนท์กัน $d$ คำตอบในมอดุโล $m$ ข้อ 3 ก็จะกลายเป็น corollary ของทฤษฎีบทนี้ด้วย
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน |
#10
|
||||
|
||||
จงใช้อุปนัยเพื่อแสดงว่า
$2^{3^n} \equiv-1(mod3^n)$ขอบคุรมากๆครับ
__________________
สัมหรับคณิตศาสตร์ ผมไม่มีแม้ซึ่งพรสวรรค์ไม่มีแม้โอกาสด้วยอยุ่ต่างจังหวัด จะมีก็แต่ความรักที่ทุ่มเท.... 14 ธันวาคม 2009 15:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Jew |
#11
|
||||
|
||||
ให้ $P(n)$ แทนประโยคเปิด $2^{3^n}\equiv -1 (mod 3^n)$
Basic step $8\equiv -1 (mod 3)$ $\therefore P(1)$ จริง Induction step ให้ $k\in \mathbb{N} $ โดยที่ $P(k)$ จริง จะได้ว่า $2^{3^k}\equiv -1 (mod 3^k) $ นั่นคือจะมี $m\in \mathbb{Z} $ ซึ่ง $2^{3^k}+1=3^k(m)$ เนื่องจาก $2\equiv -1 (mod3)$ จะได้ว่า $2^{23^k}\equiv 1 (mod3)$ $2^{3^k}\equiv -1 (mod3)$ ดังนั้น $2^{23^k}-2^{3^k}+1\equiv 1-(-1)+1\equiv 3\equiv 0 (mod3)$ นั่นคือ $3\mid 2^{23^k}-2^{3^k}+1$ นั่นคือจะมี $l\in \mathbb{Z} $ ซึ่ง $2^{23^k}-2^{3^k}+1=3l$ พิจรณา $2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k})^3+1=(2^{3^k}+1)(2^{23^k}-2^{3^k}+1)=3^k(m)(3l)=3^{k+1}(ml)$ จะได้ว่า $2^{3^{k+1}}\equiv -1 (mod3^{k+1})$ $\therefore P(k+1)$ เป็นจริง $\therefore P(n)$จริงโดย หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 14 ธันวาคม 2009 20:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer เหตุผล: LATEX -_- |
|
|