สมการเชิงฟังก์ชั่น

[Jew]

คือคำถามผมอาจจะไม่ฉลาดไปนิดก้ขออภัยด้วยครับ
คืออยากถามว่าเราจะทราบว่าได้อย่างไรว่าฟังกื่ชั่นที่เราหาได้เป็นฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟัก์ชั่นนั้นๆครับ

[Jew]

1.ผมเข้าใจที่ถามปแล้วครับ
เลยอยากทราบว่าเนื้อหาสมหการเชิงฟังก์ชั่นที่เรียนในสอวนค่ายสองนี่ถึงบทไหนในหนังสือสอวนครับ
2.อยากได้โจทย์สมการเชิงฟังก์ชั่นของ TMo กับสอวนค่ายสองครับ
3.มีโจทย์ตัวอย่างในหนังสือสอวนที่ผมไม่เข้าใจวิธีทของเค้าครับ
จงหา f:R ไป R ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f[{f(x)}^2+f(y)]=xf(x)$
เค้าทมาเรื่อยๆจนได้
$f(x)^2=x^2$*

ผมคิดว่าแค่นี้น่าจะเพียงพอแล้วแต่เค้าแสดงต่อเป็น

ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$
ทให้ $-2u^2v=2u^2v$
ขัดแย้ง


สรุปได้ว่ามีฟังก์ชั่นคตอบสองฟังก์ชั่นคือ $f(x)=x,-x$
ผมงงว่าทไมต้องแสดงต่อว่า
ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$
ทให้ $-2u^2v=2u^2v$
ขัดแย้ง
ครับ
เพราะถ้าเป็นผมคงแสดงถึง *

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

1.ผมเข้าใจที่ถามปแล้วครับ
เลยอยากทราบว่าเนื้อหาสมหการเชิงฟังก์ชั่นที่เรียนในสอวนค่ายสองนี่ถึงบทไหนในหนังสือสอวนครับ
2.อยากได้โจทย์สมการเชิงฟังก์ชั่นของ TMo กับสอวนค่ายสองครับ
3.มีโจทย์ตัวอย่างในหนังสือสอวนที่ผมไม่เข้าใจวิธีทของเค้าครับ
จงหา f:R ไป R ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f[{f(x)}^2+f(y)]=xf(x)$------>$f[{f(x)}^2+f(y)]=xf(x)+y$
เค้าทมาเรื่อยๆจนได้
$f(x)^2=x^2$*

ผมคิดว่าแค่นี้น่าจะเพียงพอแล้วแต่เค้าแสดงต่อเป็น

ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$
ทให้ $-2u^2v=2u^2v$
ขัดแย้ง


สรุปได้ว่ามีฟังก์ชั่นคตอบสองฟังก์ชั่นคือ $f(x)=x,-x$
ผมงงว่าทไมต้องแสดงต่อว่า
ถ้ามี$f(u)=u,f(v)=v$----->$f(v)=-v$
ทให้ $-2u^2v=2u^2v$
ขัดแย้ง
ครับ
เพราะถ้าเป็นผมคงแสดงถึง *

รู้สึกคุณ Jew จะมีพิมพ์ผิดนะครับ

ที่ผมเข้าใจนะครับไม่ชัวๆ

คือผมคิดว่าเค้าจะแสดงว่าต้องเป็น $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ เท่านั้น ไม่ใช่เป็นทั้งสองอย่างในฟังก์ชั่นเดียวกันอ่ะครับ

ปล รู้สึกว่าศูนย์ กทม จะเรียนถึง D-Alembert นะครับ

[Jew]

จงหาสมการเชิงฟังก์ชั่นทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f:R\rightarrow R$
$f(2002x-f(0))=2002x^2$

[LightLucifer]

ไม่มั่นใจนะครับ รอท่านอื่นมา confirm

แทน $x=\frac{f(0)}{2002}$ จะได้
$f(0)=\frac{f(0)^2}{2002}$
แก้ได้ $f(0)=0,2002$

กรณ๊ที่ $f(0)=0$ จะได้ $f(x)=\frac{x^2}{2002}$

กรณีที่ $f(0)=2002$ จะได้ $f(x)=\frac{(x+2002)^2}{2002}$

[Jew]

ขอบคุณครับ
รบกวนช่วยดูวิธีทข้อนี้ให้หน่อยคับ
ผมไม่ค่อยมั่นใจคับ
จงหา$ f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2$.........**
ผมทปแบบนี้อ่ะครับ

แทนค่า y=0 จะได้ว่า
$f(x^2)=f(f(x))$.........*
เปลี่ยนตัวแปร $y=f(x)$
จะได้
$f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2$.........***
แทนค่า x=0 ลงใน ***
ได้
$2f(f(0))=2f(f(0))$
$f(0)=0$
ปแทน $y=-x^2$ ลงใน ...............** ไม่ทราบว่าเราสามารถแทนได้ใช่ไหมครับ
ได้
$f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4$
ปแทนค่า $y=f(x)$ ลงใน **
$f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2f(x)^2$
จะได้ $f(x)=-x^2,x^2$
ปแต่เมื่อลองแทนแล้ว $f(x)=-x^2$
ไม่จริงดังนั้นมีฟังก์ชั่นเดียวทีสอดคล้องคือ
$f(x)=x^2$
รบหกวนชี้ปแนะด้วยครับ

[Jew]

ปลุกหน่อยครับคือตรงแดงที่แทนมันไม่เป็นฟังก์ชั่น1-1
เลยไม่แน่ใจครับ
หรือเราสามารถเปลี่ยนตัวแปรที่ไม่ใช่ 1-1 ได้ครับ
แต่ต้องตรวจคำตอบอีกรอบครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

ขอบคุณครับ
รบกวนช่วยดูวิธีทข้อนี้ให้หน่อยคับ
ผมไม่ค่อยมั่นใจคับ
จงหา$ f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2$.........**
ผมทปแบบนี้อ่ะครับ

แทนค่า y=0 จะได้ว่า
$f(x^2)=f(f(x))$.........*
เปลี่ยนตัวแปร $y=f(x)$
จะได้
$f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2$.........***
แทนค่า x=0 ลงใน ***
ได้
$2f(f(0))=2f(f(0))$
$f(0)=0$
ปแทน $y=-x^2$ ลงใน ...............** ไม่ทราบว่าเราสามารถแทนได้ใช่ไหมครับ
ได้
$f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4$
ปแทนค่า $y=f(x)$ ลงใน **
$f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2f(x)^2$
จะได้ $f(x)=-x^2,x^2$
ปแต่เมื่อลองแทนแล้ว $f(x)=-x^2$
ไม่จริงดังนั้นมีฟังก์ชั่นเดียวทีสอดคล้องคือ
$f(x)=x^2$
รบหกวนชี้ปแนะด้วยครับ

ตรงสีแดงทำได้ครับ แต่ตรงสีน้ำเงินพิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ

ผมทำแบบนี้

$x=y=0; f(0)+f(f(0))=2f(f(0))$

$~~~~~~~~~~f(0)=f(f(0))$

$x=0,y=f(0);f(f(0))+f(0)=2f(f(0))+2[f(0)]^2$

$~~~~~~~~~~f(0)=0$

$y=-x^2;f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4..............(1)$

$y=f(x);f(x^2+f(x))=2f(f(x))+2[f(x)]^2...........(2)$

$(1)=(2);f(x)=x^2$

[LightLucifer]

มาตอบเดี๋ยวน้อยใจ ^^

ไม่ confirm เื้่ท่าไหร่นะครับผมก็เพิ่งเริ่มเพิ่งหัดเดิน


คิดว่าได้นะครับเพราะเราทำในส่วนที่เป็นโดเมน

ที่ 1-1 คือประมาณว่า $f(x)=f(y)$ จะได้ $x=y$

ปล ตอบไม่ทันท่าน nooonuii แหะ =="

[nooonuii]

มีวิธีที่ง่ายกว่านี้อีกครับ เพิ่งเห็นว่าทำไว้แล้ว

$y=0; f(x^2)+f(f(x))=2f(f(x))$

$~~~~~~~~~~f(x^2)=f(f(x))$

$y=f(x)-x^2;f(f(x))+f(x^2)=2f(f(x))+2[f(x)-x^2]^2$

$~~~~~~~~~~ f(x)=x^2$

[Jew]

มีไม่เข้าใจหลายอย่างครับ
ขอถามให้มั่นใจไปเลยนะครับ
1.เราสามารถแทนตัวแปรเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่น 1-1 ใช่ไหมครับ
2.หลายครั้งที่ทแล้วสอดคล้องกับสมการโคชี
แต่ถ้าจะสรุปให้ได้ว่าฟังก์ชั่นคตอบอยู่ในรูป f(x)=cx
ต้องแสดงว่า f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวหรือฟังก์ชั่นต่อเนื่องใช่ไหมครับ
3.คือผมจะแสดงว่าถ้า f เป็น 1-1 แล้ว f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวเพราะหลายครั้งที่แสดงว่าเป้นฟังก์ชั่น 1-1 แต่ไม่สามารถแสดงว่าเป็นฟังก์ชั่นทางเดียวได้
ช่วยดูให้หน่อยครับเพราะคิดว่าคงต้องใช้บ่อยมากในค่าย
เอาตั้งแต่วิธีการเขียนเลยครับ
สมมติให้ f เป็นฟังก์ชั่น 1-1 แต่ไม่เป็นฟังก์ชั่นทางเดียวจะได้ว่ามี r,k ซึ่งเป็นจนวนจริงบวกซึ่ง $f(r)=f(k)$
แต่ $r\not= k$ แต่ f เป็นฟังก์ชั่น 1-1 เกิดข้อขัดแย้งดังนั้น f เป็นฟังก์ชั่นทางเดียว
4.อยากทราบวิธีการพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นหนึ่งๆเป็นฟังก์ชั่นทั่วถึงช่วยยกตัวอย่างฟังก์ชั่นทั่วถึงและวิธีการพิสูจน์หน่ยครับ
5.ช่วยแก้ข้อนี้หน่อยครับ
5.1จงหา$f:R\rightarrow R$
ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับ
$xf(y)-yf(x)=(x-y)f(xy)$
5.2 จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด
ที่สอดคล้องหกับ
$f(\frac{x+y}{2} )=\frac{f(x)+f(y)
}{2}$
อยากทราบว่าเราสามารถขยายไปสู่กรณี n พจน์ได้รึปล่าวครับเช่น
$f(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+.......+x_n}{n} )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3).........+f(x_n)
}{n}$
ถามมากไปหกน่อยพอดีอัดอั้นครับ
อาทิตย์นี้สอบปลายภาคเพิ่งเสร็จเมือวานครับ

[Keehlzver]

ตามความเข้าใจของผมนะครับ
1) เรามีอิสระที่จะเเทนค่าตัวเเปรอะไรยังไงก็ได้ครับ เมื่อการเปลี่ยนตัวเเปรกลับไปกลับมาเเล้วยังคงให้หน้าตาตัวเเปรเหมือนเดิม เช่น ใน FE เจอ $y$ เปลี่ยนตัวเเปรเป็น $y=1-x$ พอเราเปลี่ยนตัวเเปรกลับมาเป็น $x=1-y$ ก็ยังหน้าตาเหมือนเดิมจริงไหมครับ เเต่ในกรณีเช่น $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง เเทน $y=\sqrt{x}$ เราได้ว่าทั้ง $x,y$ ต่างเป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบจริงไหมครับ เเต่พอลองเปลี่ยนกลับไปจับมันยกกำลังสองดู ได้ $x=y^2$ ทีนี้เราจะได้ว่า $x \geq 0$ เเต่กลับได้ $y$ เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นลบได้ เเต่ตอนเเรกที่เราเปลี่ยนนั้น ($y=\sqrt{x}$) $y$ ไม่มีสิทธิติดลบเลยจริงไหมครับ เพราะฉะนั้นการเปลี่ยนตัวเเปรเเบบ $y=x^2$ หรือ $y=\sqrt{x}$ จึงทำไม่ได้ ตามความเข้าใจของผมนะครับ การเปลี่ยนตัวเเปรจะทำได้นั้นก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งมีสมบัติว่าอินเวอร์สของ $f$ ก็เป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วยครับ ดังนั้นก็ 1-1

2) ผมว่าขึ้นอยู่กับว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นจากเซตอะไรไปอะไรด้วยครับเช่นถ้าเป็นฟังก์ชั่นจากจำนวนตรรกยะไปตรรกยะก็ไม่ต้องเเสดงก็ได้ครับ ทำไปตามปกติ จะต้องเเสดงก็ต่อเมื่อโจทย์กำหนดให้โดเมนเป็นจำนวนจริงการจะสรุปว่า $f(x)=xf(1)$ นั้น ตามความเข้าใจของผมต้องมีอย่างน้อย 1 จาก 4 เงื่อนไข คือ ความเป็นฟังก์ชั่นทางเดียว, มีขอบเขต, ต่อเนื่องอย่างน้อยหนึ่งจุด, เป็นบวกเหนือเส้นจำนวนจริง $x \geq 0$ อย่างเล่มเทาสอวน.หน้า 194 มีสมบัติ $f(x^2)={f(x)}^2$ ได้ว่า $f(x)=cx$ เมื่อ $c=1$ (อ้างจาก IMO compendium) ซึ่งต้องเเสดงให้ดูว่า $f$ มีสมบัติดังกล่าวจึงจะสรุปได้

3) ถ้า $f$ เป็น Injective ยังไงก็ต้องมีสมบัติ Monotone increasing หรือ decreasing อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่เเล้วไม่ใช่เหรอครับ ถ้าจะเเสดงว่าถ้า $f$ injective เเล้ว monotone นี้ น่าจะใช้ได้เเค่กับ Strictly monotone เพราะอีกสองประเภทที่เหลือที่ Monotone เเต่ไม่ Strictly จะไม่เป็นฟังก์ชั่น Injective

4) ถ้่า $f$ เป็นฟังก์ชั่้นจาก $A$ ไป $B$ เเล้ว ทุกค่าของ $y$ ใน $B$ จะต้องมี $x$ ที่ทำให้ $y=f(x)$ เสมอ
เช่น $y=f(x)$ เเล้วจากโจทย์ได้ว่า $f(y)=f(f(x))=x$ มีผลให้ $x=f(y)$ ด้วย จากความจริงที่ว่าถ้า $f$ เป็นฟังก์ชั่น Bijective จาก $A$ ไป $B$ เเล้ว $f$ จะมีฟังก์ชั่นผกผันเพียงฟังก์ชั่นเดียวเท่านั้นจาก $B$ ไป $A$ ซึ่งเป็นฟังก์ชั่น Bijective ด้วย เเต่้กรณีนี้เราพิสูจน์ได้เเล้วว่า $y=f(x)$ เเละ $x=f(y)$ ดังนั้น $f$ มีฟังก์ชั่นผกผันดังนั้น $f$ จึงเป็นฟังก์ชั่น Bijective ซึ่งให้ว่า $f$ Onto ตามต้องการ

5.1) เขียนใหม่ได้เป็น $xf(y)-xf(xy)=yf(x)-yf(xy)$ เเทน $x=1;$ $f(y)-f(y)=0=yf(1)-yf(y)$ ดังนั้น $yf(y)=yf(1)$ เมื่อ $y\not=1$ จะได้ว่า $f(x)=f(1)$ เป็นคำตอบ

5.2) จาก Hint ของคุณ Nooonuii ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ จะได้ว่า $g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2})-f(0)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(0)$ จากโจทย์ให้ $x=0$ จะได้ $f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(0)$ ในทำนองเดียวกัน $f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}f(y)+\frac{1}{2}f(0)$ จับสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ว่า $f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]+f(0)$
พิจารณา $g(\frac{x}{2})+g(\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})-2f(0)=\frac{1}{2}[f(x)+f(y)]-f(0)=g(\frac{x+y}{2})$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี
เเต่พอถึงตรงนี้จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นที่มีสมบัติตามสมการโคชี รบกวนเทพทีครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

3) ถ้า $f$ เป็น Injective ยังไงก็ต้องมีสมบัติ Monotone increasing หรือ decreasing อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่เเล้วไม่ใช่เหรอครับ

ไม่จริงครับ ถ้าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น $f(x)=\dfrac{1}{x},x\neq 0$ และ $f(0)=0$ ฟังก์ชันนี้เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง แต่ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันเพิ่ม ลด และ ต่อเนื่อง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

5.2) จาก Hint ของคุณ Nooonuii ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ จะได้ว่า $g(\frac{x+y}{2})=f(\frac{x+y}{2})-f(0)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(0)$ จากโจทย์ให้ $x=0$ จะได้ $f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(0)$ ในทำนองเดียวกัน $f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}f(y)+\frac{1}{2}f(0)$ จับสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้ว่า $f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})=\frac{1}{2}{f(x)+f(y)}+f(0)$
พิจารณา $g(\frac{x}{2})+g(\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+f(\frac{y}{2})-2f(0)=\frac{1}{2}{f(x)+f(y)}-f(0)=g(\frac{x+y}{2})$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชี
เเต่พอถึงตรงนี้จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่นที่มีสมบัติตามสมการโคชี รบกวนเทพทีครับ

ทำได้แค่นี้แหละครับ จริงๆแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $f$ สอดคล้องสมการนี้ ก็ต่อเมื่อ $f(x)=g(x)+f(0)$ เมื่อ $g(x)$ สอดคล้องสมการโคชี ถ้าเราให้ $f(0)=0$ เราจะได้ว่าทุกฟังก์ชันที่สอดคล้องสมการโคชีก็เป็นคำตอบของสมการนี้ ถ้าไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมคำตอบก็คงอยู่ในรูปนี้แหละครับ

สมการนี้ก็คือรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรงที่เรารู้จัก ในขณะที่สมการโคชีเป็นรูปแบบทั่วไปของสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

5.2 จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมด
ที่สอดคล้องหกับ
$f(\frac{x+y}{2} )=\frac{f(x)+f(y)
}{2}$
อยากทราบว่าเราสามารถขยายไปสู่กรณี n พจน์ได้รึปล่าวครับเช่น
$f(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+.......+x_n}{n} )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3).........+f(x_n)
}{n}$
ถามมากไปหกน่อยพอดีอัดอั้นครับ
อาทิตย์นี้สอบปลายภาคเพิ่งเสร็จเมือวานครับ

ลองใช้ induction ดูครับ