พิสูจน์ยังไงครับ

[ไร้ซึ่งวรยุทธ]

1.ให้ A={1/n∣n∈ℕ} จงพิสูจน์ว่า
1.1 สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ จะได้ว่า x≥1 ก็ต่อเมื่อ x เป็นขอบเขตบนของ A
1.2 สำหรับจำนวนจริง y ใดๆ จะได้ว่า y≤0 ก็ต่อเมื่อ y เป็นขอบเขตล่างของ A

2.ให้ A,B⊆ℝ ซึ่ง ∅/=A⊆B และ B เป็นเซตที่มีขอบเขต จงพิสูจน์ว่า
glb(B)≤glb(A)≤lub(A)≤lub(B)

3.ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ โดยที่ A เป็นเซตนับได้ จงพิสูจน์ว่า ถ้า A สมมูลกับ B แล้ว B เป็นเซตนับได้

4. จงพิจารณาว่าเซตใดต่อไปนี้เป็นเซตจำกัด เซตอนันต์นับได้ หรือเซตอนันต์นับไม่ได้ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
4.1 เซตของจำนวนเต็มคี่ทั้งหมด
4.2 {2x+1∣x∈ℚ}
4.3 เซตของฟังก์ชัน f ทั้งหมด โดยที่ f:{0,1}→ℕ

5.จงพิสูจน์ว่า ถ้า A และ B เป็นเซตนับได้ แล้ว A×B เป็นเซตนับได้

ขอบคุณ nooonuii ด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไร้ซึ่งวรยุทธ

1.ให้ $A = \{1/n \mid n\in \mathbb{N} \}$ จงพิสูจน์ว่า
1.1 สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ จะได้ว่า $x\geq 1$ ก็ต่อเมื่อ $x$ เป็นขอบเขตบนของ $A$
1.2 สำหรับจำนวนจริง $y$ ใดๆ จะได้ว่า $y\leq 0$ ก็ต่อเมื่อ $y$ เป็นขอบเขตล่างของ $A$

2.ให้ $A,B \subseteq \mathbb{R}$ ซึ่ง $\varnothing \neq A\subseteq B$ และ $B$ เป็นเซตที่มีขอบเขต จงพิสูจน์ว่า
$glb (B) \leq glb(A)\leq lub(A)\leq lub (B)$

3.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตใดๆ โดยที่ $A$ เป็นเซตนับได้ จงพิสูจน์ว่า ถ้า $A$ สมมูลกับ $B$ แล้ว $B$ เป็นเซตนับได้

4. จงพิจารณาว่าเซตใดต่อไปนี้เป็นเซตจำกัด เซตอนันต์นับได้ หรือเซตอนันต์นับไม่ได้ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
4.1 เซตของจำนวนเต็มคี่ทั้งหมด
4.2 $\{2x+1 \mid x \in \mathbb{Q} \}$
4.3 เซตของฟังก์ชัน $f$ ทั้งหมด โดยที่ $f : \{0,1\} \rightarrow \mathbb{N}$

5.จงพิสูจน์ว่า ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตนับได้ แล้ว $A \times B$ เป็นเซตนับได้

เขียนโจทย์ให้ใหม่แต่ยังไม่มีเวลาทำให้ครับ ถ้ายังไม่มีความรู้พื้นฐานแนะนำว่าให้ลองไปศึกษามาก่อนเพราะ

$\downarrow $

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไร้ซึ่งวรยุทธ

1.ให้ $A = \{ \frac{1}{n} : n\in \mathbb{N} \}$ จงพิสูจน์ว่า
1.1 สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ จะได้ว่า $x\geq 1$ ก็ต่อเมื่อ $x$ เป็นขอบเขตบนของ $A$
1.2 สำหรับจำนวนจริง $y$ ใดๆ จะได้ว่า $y\leq 0$ ก็ต่อเมื่อ $y$ เป็นขอบเขตล่างของ $A$

ข้อแรกจะขอทำแต่ 1.1 นะครับ ส่วนข้อ 1.2 ลองทำเอง

$(\Rightarrow)$ สมมติว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ จะได้ว่า $x\geq 1$
เราจะแสดงว่า $x$ เป็นขอบเขตบนของ $A$
นั่นคือเราต้องแสดงว่า $x \geq s$ สำหรับทุก $s \in A$
เราให้ $s \in A$ นั่นคือ $s = \frac{1}{n}$ เมื่อ $n \in \mathbb{N}$
เนื่องจาก $1 \geq \frac{1}{n}$ ทุก $n \in \mathbb{N}$ โดยสมมติฐานเราจึงได้ว่า $x \geq \frac{1}{n}=s$
นั่นคือเราจะได้ตามต้องการ

$(\Leftarrow)$ ให้ $x \in \mathbb{R}
$
สมมติว่า $x$ เป็นขอบเขตบนของ $A$
เนื่องจาก $\sup A = 1$ โดยสมมติฐานเราจึงได้ว่า $x \geq 1$

[ไร้ซึ่งวรยุทธ]

ช่วย ข้อ 4 กับ 5 ก่อนทีครับ

[nooonuii]

4.1 อนันต์นับได้

4.2 อนันต์นับได้

4.3 อนันต์นับไม่ได้