convex ครับ

[Yuranan]

ช่วย prove หน่อยนะครับ if f is inscreasing convex function and g is decreasing concave function then h is convex. โดยกำหนด $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

[Amankris]

ผมว่ามันไม่จริงนะ

มีแหล่งที่มาอ้างอิงไหม

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ผมว่ามันไม่จริงนะ

มีแหล่งที่มาอ้างอิงไหม

โทษทีครับ อันนี้โจทย์จริงครับ if $f$ is convex, nondecreasing, and positive, and $g$ is concave, nonincreasing, and positive, then f/g is convex. มาจาก หนังสือของ Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe ครับ

[Amankris]

ให้ $x<y$
$\begin{array}{rcl}
h\left(\dfrac{x+y}{2}\right)&=&\dfrac{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}{g\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}\\
&&\\
&\leq&\dfrac{\dfrac{f(x)+f(y)}{2}}{\dfrac{g(x)+g(y)}{2}}\\
&&\\
&=&\dfrac{f(x)+f(y)}{g(x)+g(y)}\\
&&\\
&\leq&\dfrac{f(x)}{2g(x)}+\dfrac{f(y)}{2g(y)}\\
&&\\
&=&\dfrac{h(x)+h(y)}{2}
\end{array}$

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ให้ $x<y$
$\begin{array}{rcl}
h\left(\dfrac{x+y}{2}\right)&=&\dfrac{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}{g\left(\dfrac{x+y}{2}\right)}\\
&&\\
&\leq&\dfrac{\dfrac{f(x)+f(y)}{2}}{\dfrac{g(x)+g(y)}{2}}\\
&&\\
&=&\dfrac{f(x)+f(y)}{g(x)+g(y)}\\
&&\\
&\leq&\dfrac{f(x)}{2g(x)}+\dfrac{f(y)}{2g(y)}\\
&&\\
&=&\dfrac{h(x)+h(y)}{2}
\end{array}$

$$=\frac{f(x)+f(y)}{g(x)+g(y)}$$
$$\leqslant \frac{f(x)}{2g(x)}+\frac{f(y)}{2g(y)}$$ มายังไงเหรอครับ

[Amankris]

@#5
กระจายครับ หลายบรรทัดเหมือนกัน แต่ไม่ยาก

[kongp]

กระจายแบบอื่นมีไหมครับ น่าจะมี Duality Form นะ