หาตัวอย่างของลำดับ

[tana]

ข้อ 1. จงยกตัวอย่างลำดับ \( a_{n} \) ตามเงื่อนไขต่อไปนี้
ถ้า lim \( \displaystyle{\frac{1}{a_{n}} = 0 } \)
แต่ lim \( a_{n} \) น ฅ หรือ -ฅ
เมื่อ n --> ฅ

( ช่วยหาตัวอย่างให้หน่อยนะครับ ยิ่งเร็วยิ่งดีอ่ะคับ ขอบคุณครับ )

[gon]

มีด้วยหรือครับ. ลำดับแบบที่ว่า

[warut]

มาอีกแล้วแบบเร่งๆ เอาเป็น hint ไปละกันนะครับ

ถ้า lim 1/a_n = 0 ก็แสดงว่า lim |a_n| = ฅ แน่นอน
ถ้าไม่อยากให้ lim a_n = ฅ หรือ -ฅ อันใดอันหนึ่งก็ทำให้มันแกว่งส่ายสิครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ได้ไหมครับ ลำดับนี้
a₁ = 1
a₂ = -2
a₃ = 4
a₄ = -8
.
.
.
a_n = (-2)^n-1

[warut]

นั่นแหละๆ ใช้ได้เลยครับลำดับนี้

[tana]

สำหรับลำดับนี้หมายความว่า เป็น ทั้ง ฅ และ -ฅ เลยหรือครับ
ไม่ว่ายังไงก็ไม่มีทางมีลำดับที่ลู่เข้าไปหาจำนวนอื่นได้นอกจาก ฅ ใช่มั้ยครับ

( ที่ถามนี่มันเป็นข้อสอบเข้าของ ป.โท ป.เอก ของจุฬาอ่ะนะครับ ผมเพิ่งไปสอบมาครับ ตอนสอบนี่คิดไงก็นึกไม่ออกอ่ะครับ เวลามันก็เร่งด้วยอ่ะนะ )

( ข้อสอบวันแรกก็ดีอ่ะครับ แต่วันที่สองนี่พวกเรื่องของ Algebra กับ Analysis นี่ยากกว่าวันแรกหลายเท่าเลยอ่ะครับ
ของวันแรกนั่น สอบ แคลคูลัส กับ หลักคณิตศาสตร์ แต่ข้อสอบเค้าหลากหลายดีนะครับ สนุกดี )

( เพิ่งรู้วันนี้นี่หละครับว่า Linear กับ Abstract Algebra มันเอามารวมกันเป็น
โจทย์เดียวกันได้ด้วย เรื่อง ฟิลด์ กับ การแปลงเชิงเส้นอ่ะครับ สุดยอด )

[tana]

นึกได้อีกข้อนึงครับ

ข้อ 2. จงพิสูจน์หรือยกตัวอย่างค้านว่า ถ้า f(0) = 0 แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างแท้จริง ( ไม่มีเท่าเดิมนั่นเอง )
( ข้อนี้อยู่ใน Analysis ครับ )

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ tana:
สำหรับลำดับนี้หมายความว่า เป็น ทั้ง ฅ และ -ฅ เลยหรือครับ
ไม่ว่ายังไงก็ไม่มีทางมีลำดับที่ลู่เข้าไปหาจำนวนอื่นได้นอกจาก ฅ ใช่มั้ยครับ

ลิมิตของลำดับนี้ไม่ใช่ ฅ แล้วก็ไม่ใช่ -ฅ ด้วยครับ
ถ้า lim |a_n| น ฅ แล้ว lim 1/a_n ก็หมดสิทธิ์เป็น 0 ลองพิสูจน์ดูสิครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ tana:
นึกได้อีกข้อนึงครับ

จงพิสูจน์ว่า ถ้า f(0) = 0 แล้ว f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างแท้จริง ( ไม่มีเท่าเดิมนั่นเอง )
( ข้อนี้อยู่ใน Analysis ครับ )

ข้อความข้างบนไม่เป็นจริงครับ เช่นให้ f(x) = -x
จะได้ f(0) = 0 แต่ f เป็น strictly decreasing function ครับ

[tana]

ขอบคุณครับ คุณ warut

แล้วอย่างนี้ a(n) = (-2)^n-1 มันจะลู่เข้าหาค่าใดค่าหนึ่งรึเปล่าอ่ะครับ ถ้าไม่ใช่ทั้ง ฅ หรือ -ฅ แล้วถ้ามันไม่เข้าหาค่าใดค่าหนึ่งมันก็ไม่น่าจะเรียกว่าลู่เข้านี่ครับ ( รึปล่าวหว่า )

ส่วนอีกข้อ ( ข้อ 2 ) ถ้า f(0) = 0 แล้ว เราไม่สามารถ สรุป อะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มหรือลดได้เลยใช่มั้ยครับ

ข้อ 3. {x(n)} เป็นลำดับโคชี แล้ว {f(x(n))} เป็นลำดับโคชี

[warut]

1. a_n ไม่ลู่เข้าครับ
โจทย์ไม่ได้กำหนดให้ lim a_n ต้องหาค่าได้ใช่ไหมครับ

2. f(0) = 0 ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มหรือลดเลยครับ
แต่คุณ tana แน่ใจรึเปล่าครับว่าจำโจทย์มาถูก

3. ไม่แน่ใจว่า f คืออะไรนะครับ ถ้าเป็นฟังก์ชันอะไรก็ได้ ข้อความนี้ก็ไม่จริงอีกอะครับ
ให้ x_n = 1/n และ f(x) = 1/x ดังนั้น f(x_n) = n
จะเห็นว่า {x_n} เป็นลำดับโคชี แต่ {f(x_n)} ไม่เป็นลำดับโคชี

[tana]

ถ้าได้ผ่านไปสอบสัมภาษณ์ จาดูโจทย์มาอีกทีนะคับ ( เย็นนี้ก็รู้ผลแล้วคับ ) ไม่ค่อยแน่ใจโจทย์เหมือนกันอ่ะครับ ทำจนเบลออคับ ข้อสอบเยอะมากๆ ( เริ่มรู้สึกว่าหลายข้อของข้อสอบเริ่มจะกวนๆเข้าแล้วอ่ะคับ ถ้าไมอ่านโจทย์ให้ดี ๆ )

[nooonuii]

f should be continuous krub

{x_n} Cauchy --> {x_n} convergent --> {f(x_n)} convergent --> {f(x_n)} Cauchy

[tana]

เย้!!! สอบผ่านข้อเขียน math ป.โท แล้วครับ พรุ่งนี้ก็ต้องไปสอบสัมภาษณ์แล้ว ไม่รู้จาเจอ อ.เค้าถามไรมั่ง
( คิดว่าน่าจาได้เห็นข้อสอบที่ตัวเองทำไปหล่ะครับว่าผิดตรงไหนบ้าง สู้ตายครับ เย้!!! )

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ tana:
เย้!!! สอบผ่านข้อเขียน math ป.โท แล้วครับ พรุ่งนี้ก็ต้องไปสอบสัมภาษณ์แล้ว ไม่รู้จาเจอ อ.เค้าถามไรมั่ง
( คิดว่าน่าจาได้เห็นข้อสอบที่ตัวเองทำไปหล่ะครับว่าผิดตรงไหนบ้าง สู้ตายครับ เย้!!! )

ยินดีด้วยครับ
ขอให้ผ่าน สัมภาษณ์ด้วยละกันครับ