พิสูจน์ จำนวนเฉพาะ

[konkoonJAi]

จงพิสูจน์ว่า
ถ้า ${n \choose k}$ เมื่อ 1< k < n-1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว n เป็นจำนวนเฉพาะ
พยายามหาคำตอบมานานแล้วค่ะ แต่ยังคิดไม่ออก ใครพอจะมีแนวคิดที่จะพิสูจน์ข้อความนี้ ช่วยหน่อยนะคะ

[TOP]

ไม่เคยเจอทฤษฎีนี้ครับ แต่คิดว่าไม่ถูกต้อง(ขอบเขตน้อยไปหน่อย)
เพราะในแต่ละแถว $\binom{n}{k}$ จะมีจำนวนเฉพาะได้เพียงค่าเดียว ซึ่งถ้ามี ก็จะอยู่ที่ $k=1$ และ $k=n-1$ เท่านั้น ไม่ใช่สำหรับ $1< k < n-1$

อ้างอิงจาก Mathematical Journeys หน้า 176 และ หน้า 191



Prove that $n$ is prime if and only if all binomial coefficients $\binom{n}{k}$ for $1 \leq k \leq n − 1$ are divisible by $n$.

Solution

For $1 \leq k \leq n − 1$, $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$. If $n$ is prime, then $n$ divides the numerator but not the denominator. Hence $n \mid \binom{n}{k}$. If $n$ is composite, then we can write $n = rs$ where $1 < r \leq s < p$. Then $\binom{n}{r} = \frac{rs(rs-1)\cdots(rs-r+1)}{r!} = \frac{s(rs-1)\cdots(rs-r+1)}{(r-1)!}$. But $r$ does not divide any of the factors $rs-r+1 , \ldots , rs-1$. Hence $rs$ cannot divide the numerator. Therefore $\binom{n}{r}$ is not divisible by $n$.

[Switchgear]

เล่มที่คุณ TOP อ้างถึง ผมเคยอ่านแล้ว เนื้อหาสนุกมากครับ
ใครยังไม่เคยอ่านก็ควรจะรีบหาอ่าน...มีความรู้ดีๆ อยู่เยอะ

[konkoonJAi]

ขอบคุณมากๆ นะคะ