ลูกศิษย์ ม.2 ไปเข้าค่ายที่ ม.ขอนแก่น เลยได้โจทย์มาแชร์ครับ

[whatshix]

ตัวอย่างชุดที่ 1
จาก $3! = 3\times2\times1 = 6$
จะได้ $6! = 6\times5! = 3!\times5!$

ตัวอย่างชุดที่ 2
จาก $4! = 4\times3\times2\times1 = 24$
จะได้ $24! = 24\times23! = 4!\times23!$

ตัวอย่างชุดที่ 3
จาก $5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120$
จะได้ $120! = 120\times119! = 5!\times119!$

ตัวอย่างชุดที่ 4
จาก $6! = 6\times5\times4\times3\times2\times1 = 720$
จะได้ $720! = 720\times719! = 6!\times719!$

ตัวอย่างชุดที่ 5
จาก $7! = 7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 5040$
จะได้ $5040! = 5040\times5039! = 7!\times5039!$

[banker]

ลูกเต๋า 1 ลูก มี 6 หน้า ผลรวมทั้ง 6 หน้า เท่ากับ 21

สามลูก มีผลรวมเท่ากับ 63

แต่เมื่อนำทั้ง 3 ลูก มาตั้งซ้อนกัน ก็จะเหลือจำนวนหน้า 13 หายไป 5

ถ้าต้องการให้หน้าที่มองเห็นมีผลรวมมากที่สุด ก็ต้องซ่อนหน้าที่ไม่เห็นให้ใีผลรวมน้อยที่สุด

ลูกบน หายไป 1 หน้า ซ่อน 1 วางล่างสุด

ลูกกลาง หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ลูกล่างสุด หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ดังนั้นเลขที่หายไปเท่ากับ 1+1+2+1+2 = 7

ดังนั้นผลรวมมากที่สุดคือ 63 - 7 = 56

[banker]

ข้อนี้ก็เหมือนข้อ 3

ลูกเต๋า 1 ลูก มี 6 หน้า ผลรวมทั้ง 6 หน้า เท่ากับ 63

สามลูก มีผลรวมเท่ากับ 189

แต่เมื่อนำทั้ง 3 ลูก มาตั้งซ้อนกัน ก็จะเหลือจำนวนหน้า 13 หายไป 5

ถ้าต้องการให้หน้าที่มองเห็นมีผลรวมมากที่สุด ก็ต้องซ่อนหน้าที่ไม่เห็นให้มีผลรวมน้อยที่สุด

ลูกบน หายไป 1 หน้า ซ่อน 1 วางล่างสุด

ลูกกลาง หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ลูกล่างสุด หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ดังนั้นเลขที่หายไปเท่ากับ 1+1+2+1+2 = 7

ดังนั้นผลรวมมากที่สุดคือ 189 - 7 = 182

[banker]

ข้อนี้ง่ายที่สุด

คิดแบบเด็กประถม ตัวหารมาก ผลลัพธ์น้อย

แค่มองๆ ก็ตอบได้แล้ว

[alvamar]

ลูกเต๋า 1 ลูก มี 6 หน้า ผลรวมทั้ง 6 หน้า เท่ากับ 21

สามลูก มีผลรวมเท่ากับ 63

แต่เมื่อนำทั้ง 3 ลูก มาตั้งซ้อนกัน ก็จะเหลือจำนวนหน้า 13 หายไป 5

ถ้าต้องการให้หน้าที่มองเห็นมีผลรวมมากที่สุด ก็ต้องซ่อนหน้าที่ไม่เห็นให้ใีผลรวมน้อยที่สุด

ลูกบน หายไป 1 หน้า ซ่อน 1 วางล่างสุด

ลูกกลาง หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ลูกล่างสุด หายไป 2 หน้า คือ บน กับล่าง ใช้เลข 1 กับ 2

ดังนั้นเลขที่หายไปเท่ากับ 1+1+2+1+2 = 7

ดังนั้นผลรวมมากที่สุดคือ 63 - 7 = 56

ลูกบาศก์ลูกนี้ 1 กับ 2 ไม่ได้ตรงข้ามกันไม่ใช่หรอครับ
ลูกบาศก์ลูกนี้เหมือนลูกเต๋าเลยนิครับ กฎของลูกเต๋าที่ว่าด้านที่ตรงข้ามมีผลรวมเท่ากับ 7 เสมอ

เพราะงั้น 13 ด้านที่เราเห็นจะมี

4 ด้านของลูกล่างสุด (อีก 2 ด้านอยู่ล่างสุด ส่วนอีกด้านโดนลูกที่อยู่ด้านบนทับไว้)
4 ด้านของลูกตรงกลาง (อีก 2 ด้านอยู่ด้านใต้กับบนเหมือนลูกที่ 1)
และ 5 ด้านของลูกบนสุด (ด้านล่างสุดถูกวางไว้ แต่อีกด้านไม่ถูกบัง)
= 4 + 4 + 5 = 13 ด้าน

ลูกเต๋าลูกแรกกับลูกตรงกลางไม่ว่าจะวางยังไง ผลรวมของ 8 ด้านนั้น จะได้เท่ากับ 7 x 4 = 28
เพราะด้่านตรงข้ามรวมกันย่อมได้ 7 มีคู่ตรงข้ามทั้งหมด 4 คู่

ส่วนลูกสุดท้าย 4 ด้านที่เห็นจากด้านข้าง รวมกันได้ 14 (7แต้ม x ด้านตรงข้าม2คู่ )
เหลืออีก 1 ด้าน ให้ด้านนี้เป็นแต้มที่คะแนนเยอะที่สุดคือ 6

รวมกันได้ 28+14+6 = 48

[alvamar]

ข้อนี้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกันคือ 8-4 ,16-2 , 32-1 มีผลรวมทุกด้าน = 63
ใน 2 ลูกล่างต้องให้ด้านคู่ตรงข้ามที่โดนบังมีผลรวมน้อยที่สุด คือ 8-4 = 12
ดังนั้น ทั้ง 2 ลูกนี้ (หรือ 8 ด้านที่มองเห็น) มีผลรวมเท่ากับ 2[63-12] = 102

ลูกเต๋าบนสุดจะต้องเอาลูกที่มีแต้มต่ำที่สุดโดนบัง นั่นคือ 1
ดังนั้น 5 ด้านนี้ก็จะรวมกันได้ = 63-1 = 62

ฉะนั้น ผลรวมของ 13 ด้านนี้คือ = 102+62 = 164

โอ้ ตอนนี้คิดผิดเหมือนกันครับ ..

[artty60]

ข้อ3. ตอบ 48

ข้อ4. ตอบ 164



ตอบ 8 วิธี



$a=\sum_{n = 1}^{49} \frac{(2n+1)^2+1}{(2n+1)^2-1}$

$\frac{(2n+1)^2+1}{(2n+1)^2-1}=\frac{4n^2+4n+2}{4n^2+4n}=1+\frac{1}{2n(n+1)}$

$a=49+\sum_{n = 1}^{49}\frac{1}{2n(n+1)}$ ซึ่ง $\sum_{n = 1}^{49}\frac{1}{2n(n+1)}<1$

$\therefore N=49$

หมายเหตุ พิสูจน์ว่าค่าของ $\sum_{n = 1}^{49}\frac{1}{2n(n+1)}<1$

$\sum_{n = 1}^{49}\frac{1}{2n(n+1)}=\sum_{n = 1}^{49}\frac{1}{2}[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{50})=\frac{49}{100} $



จำนวนนี้จะมากสุดเมื่อ $a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}$ น้อยสุด $\therefore \frac{1}{b+\frac{1}{c}}$ น้อยสุด ดังนั้น$a=1, b=2,c=1$

$\therefore \frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}=\frac{3}{4}$

จำนวนนี้จะน้อยสุดเมื่อ $a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}$ มากสุด $\therefore \frac{1}{b+\frac{1}{c}}$ มากสุด ดังนั้น$a=2, b=1,c=2$

$\therefore \frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}=\frac{3}{8}$

เพราะฉะนั้นตอบต่างกัน $=\frac{3}{8}$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ whatshix

ขออนุญาต copy ไอเดียในการเฉลยข้อ 2 ครับ



$2^{22}+1 = [(2^{11})^2+2(2^{11})+1]-2(2^{11})$
$= (2^{11}+1)^2-2(2^{11})$
$= (2^{11}+1)^2-2^{12}$
$= (2^{11}+1)^2-(2^6)^2$
$= (2^{11}+1-2^6)(2^{11}+1+2^6)$
$= (2048+1-64)(2048+1+64)$
$= 1985\times2133$
$= 5\times397\times2133$

a+b+c = 5+397+2133 = 2535

บวกเลขตอนท้ายผิดครับ ต้องเป็น 2113

[artty60]

น่าจะ $b<a<c$ นะ เพราะตัวหารของ c น้อยกว่าของ a ดูหลายชั้นก็มึนแฮะ


ข้อนี้โจทย์ให้มากำกวม งงๆแฮะ พิจารณาทีละอัน

จาก$d_2=k$ แสดงว่าตัวหารของ n มีแค่2ตัว? ถ้าใช่ นั่นแสดงว่า n เป็นจำนวนเฉพาะ

ถ้าเป็นอย่างนี้ต้องอาศัยความจำของเจ้าหมาป่าแล้วล่ะ

1-1000 มีจำนวนเฉพาะ 168 ตัว

1001-2000 มีจำนวนเฉพาะ 135 ตัว

รวม 2003 และ 2011

ดังนั้น จำนวนเฉพาะตั้งแต่2ถึง2012มีทั้งหมดเท่ากับ 305 ตัว

[artty60]

หาค่า$\sqrt{3039162537A6}$ ก็จะเห็นว่า $A=9$ และได้ $n=81$

[artty60]

ตามเงื่อนไขเบอร์สวย

$d_1d_2d_3=d_4d_5d_6$ หรือ $d_1d_2d_3=d_5d_6d_7$

จำนวนวิธีเลือกเลข 0 ถึง 9 มาใส่ ใน$d_1d_2d_3$ ได้ $=9\times 9\times 9$

ถ้า$d_1d_2d_3=d_4d_5d_6$จะเหลือ $d_7$ ซึ่งสามารถเลือกเลข0-9มาใส่ได้ทั้งหมด

ถ้า$d_1d_2d_3=d_5d_6d_7$จะเหลือ $d_4$ ซึ่งสามารถเลือกเลข0-9มาใส่ได้ทั้งหมด

เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด $=2\times 9\times 9\times 9\times 9=13122$

แต่มีจำนวนที่ซ้ำกันได้หาก $d_1d_2d_3$ เป็นเลขตอง $d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7$ ก็จะเป็นเลขเดียวกันหมด

ซึ่งมีได้ 9 หมายเลข เพราะฉะนั้นมีเบอร์สวยตามเงื่อนไขทั้งหมด $13122-9=13113$ วิธี

[artty60]

ครบหมดแล้ว ถ้ามีเฉลย ช่วยลงเฉลยที่ถูกต้องให้หน่อยครับ

[whatshix]

ตอบ 8

วิธีคิดอยู่ในกระดาษทดครับ