math กสพท

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอถามคุณหยินหยางนิดนึงครับ มีทางไหมครับ ที่เราจะรู้ว่าข้อไหนแอบแทนค่าได้บ้าง พอดีผมเคยเจอข้อหนึ่งผมแอบแทนค่า แต่คำตอบออกมาดันมาอยู่ในรูปตรีโกณน่ะครับ

โจทย์ที่เป็นลักษณะเอกลักษณ์ แทนค่าได้ครับ แต่โจทย์ข้อนี้ไม่ได้เป็นเอกลักษณ์ ก็ใช้วิธีการสังเกต จากโจทย์ว่าเป็นแบบเติมคำหรือแสดงวิธีทำหรือแบบเลือกตอบ ก็พอเดาได้ว่าควรใช้วิธีไหนครับที่เร็วและแม่นยำ อย่างในกรณีนี้ เราแทนค่าได้ไม่ผิดครับ เพราะค่าที่เราแทนอยู่ในเงื่อนไขของโจทย์ เพียงแต่ว่าสิ่งที่ต้องระวังก็คือมันเป็นคำตอบเดียวหรือไม่ วิธีตรวจสอบก็ลองเปลี่ยนค่าที่แทนง่ายลงไปแบบคิดในใจนอกใจก็เห็นคำตอบครับ

[tongkub]

ขอบคุณมากครับ งั้นผมขอทำต่อนะครับ

Attachment 4053

จัดรูปใหม่ได้เป็น $x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz$

$(x-y-z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz - yz) = 0$

$x = y + z$

จากสมการที่ $ x^2 = 2(x+y)$

$x^2 = 2x$
$x = 0 , 2 $

[poper]

$$\log_{x}36+\log_{18}3x=2\log_{x}6+\frac{\log_{x}3+1}{\log_{x}9+\log_{x}2}$$
$$=2(\log_{x}3+\log_{x}2)+\frac{\log_{x}3+1}{2\log_{x}3+\log_{x}2}$$
ให้ $\log_{x}3=a$ และ $\log_{x}2=b$
$$2(a+b)+\frac{a+1}{2a+b}=3$$ $$4a^2+(6b-5)a+(2b-1)(b-1)=0$$ $$(4a+2b-1)(a+b-1)=0$$
1) $4a+2b=1$
$\log_{x}18=\frac{1}{2}$
$x=324$
2) $a+b=1$
$\log_{x}6=1$
$x=6$

[กิตติ]

ข้อนี้ผมคิดได้ $100$ มีโจทย์ทำนองเดียวกันที่น้อง sirenโพสไว้ใน โจทย์น่าสนใจ แม้จะต่างกันที่เลขยกกำลังแต่อย่างอื่นในโจทย์เหมือนกัน

คิดใหม่แล้วได้คำตอบคือ $-100$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

]2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$
จงหาค่าของ $-100(A+B)$

น้องอาร์ทเฉลยไว้ตามนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 2. แปลกๆนะครับมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเหรอครับ

ให้ $a=\omega , b=\omega ^2$ เป็นรากที่สามของ 1

จะได้ $A=\sum_{n = 1}^{2547}(\frac{\omega }{\omega +\omega ^2})^n =\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega )^n$

$B=\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega ^2 )^n $

$\therefore 100(A+B)=\sum_{n = 1}^{2547}(-(\omega +\omega ^2))^n=254700 $

ซึ่งเลขยกกำลังที่เป็นเลขคี่นั้นไม่ว่าเท่าไหร่คำตอบจะเหมือนกันหมด
มาช่วยผมดูหน่อยว่าผมคิดตรงไหนผิด

จาก$a^3=b^3 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=0$ เนื่องจาก $a\not= b$ ดังนั้น$a-b\not=0$
$a^2+ab+b^2=0 \rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = -1 $
$ab=(a+b)^2$

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} = -1$ และเมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะได้ว่า

$\dfrac{a^{2n}}{b^{2n}}+\dfrac{b^{2n}}{a^{2n}} = -1$

$ A = \frac{a}{a+b}(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552})$
$A\times (\frac{a}{a+b}-1) = \frac{a}{a+b}\times (\frac{a}{a+b}-1)(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552}) $
$A\times (\frac{-b}{a+b}) = \frac{a}{a+b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$
$A= -\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$

$B = \frac{b}{a+b}(1 + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2552})$
$B \times (\frac{b}{a+b}-1)= \frac{b}{a+b}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$
$B= -\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$

$A+B = -[\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)+\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553}-1 )]$

$= -[(\frac{a^{2554}}{b(a+b)^{2553}})+(\frac{b^{2554}}{a(a+b)^{2553}})-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})]$

$= -[(\frac{a^{2555}}{(a+b)^{2555}})+(\frac{b^{2555}}{(a+b)^{2555}})+1]$

$= -[(\frac{a}{b} +1)(\frac{a^{1277}}{b^{1277}})+(\frac{b}{a} +1)(\frac{b^{1277}}{a^{1277}})+1]$

$= -[(\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}}) +(\frac{a^{1278}}{b^{1278}}+\frac{b^{1278}}{a^{1278}})+1]$

$= -[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]$....
ผมน่าจะคิดเครื่องหมายกับพจน์ผิด เดี๋ยวขอลองคิดในกระดาษใหม่อีกที
เมื่อคืนคงงงเองทำต่อในกระดาษอีกนิดเดียวก็จบแล้ว

$= -[(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1276} +(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1276} ]$

$= [(1+\frac{b}{a})(\frac{a}{b})^{1276} +(1+\frac{a}{b})(\frac{b}{a})^{1276} )]$

$= [(\frac{a}{b})^{1276}+(\frac{b}{a})^{1276} +(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} ]$

$= -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} $

$= -1+ (\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1274}$

$= -1-[ (\frac{a}{b})^{1274} +(\frac{b}{a})^{1274}+(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

$= -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เริ่มเห็นวนรอบของการแปลงพจน์แล้วจาก $-[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]\rightarrow -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} \rightarrow -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เลขชี้กำลังของการวนกลับมานั้นต่างกันอยู่4.....เราก็คิดเหมือนลำดับเลขคณิตว่าจะวนพอดีหรือมีพจน์ตกค้าง
$1272 = 4(318)$ แสดงว่าวนได้ 318 ดังนั้นพจน์สุดท้ายที่เหลือคือ

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

ดังนั้น$A+B = -1$
โจทย์ถาม$-100(A+B)$ จึงได้คำตอบคือ $100$

แก้ใหม่ว่า พจน์สุดท้ายเป็น $-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
ดังนั้น$A+B = 1$
โจทย์ถาม$-100(A+B)$ จึงได้คำตอบคือ $-100$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

[quote=กิตติ;99943]

ถ้าเราคิดว่า $\frac{a}{a+b}$ หรือ $\frac{b}{a+b}$ ไล่ไปจนถึงกำลัง 2553 มีค่าเท่ากับ ไล่ไปจนถึงกำลังอนันต์

(ไม่รู้ทำไม ลองทำดู)

แล้วละก็จะได้ว่า

$$A=\frac{a}{a+b} [1+A]$$
$$\frac{A}{1+A} =\frac{a}{a+b}$$
$$1-\frac{1}{1+A} =\frac{a}{a+b} $$
$$\frac{b}{a+b} =\frac{1}{1+A} $$
$$\frac{a+b}{b} =1+A$$
$$A=\frac{a}{b} $$
ในทำนองเดียวกัน
$$B=\frac{b}{a+b} [1+B]$$
จะได้ว่า
$$B=\frac{b}{a} $$

จากข้อมูล

$$a^3=b^3$$
$$a^3-b^3=0$$
$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=0[\because a\not= b] $$
$$a^2+ab+b^2=0$$
$$\frac{a}{b} +\frac{b}{a} =-1$$
$$A+B=-1$$

ดังนั้น $-100(A+B)=100$

ซึ่งคำตอบตรงกับคุณกิตติ

แต่คำตอบนี้น่าจะยังไม่ใช่นะครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ขอบคุณมากครับ งั้นผมขอทำต่อนะครับ

Attachment 4053

จัดรูปใหม่ได้เป็น $x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz$

$(x-y-z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz - yz) = 0$

$x = y + z$

จากสมการที่ $ x^2 = 2(x+y)$

$x^2 = 2x$
$x = 0 , 2 $

พิมพ์ผิดนิดหน่อยครับ ตรง$x^2$=...

[Thgx0312555]

Attachment 4030
มีแต่วิธีแปลกๆกันครับ ได้ไม่ตรงกับผม

ให้ $x=\dfrac{a}{a+b},y=\dfrac{b}{a+b}$ จะได้ $x+y=1$

$a^3=b^3$ หารด้วย $(a+b)^3$ ตลอดได้ $x^3=y^3$ และเห็นได้ชัดว่า $x \not= y$
ซึ่งแก้สมการออกมาได้ $x^2+xy+y^2=0$

แต่ $x^2+2xy+y^2=1$
$\therefore xy=1$
$x^3y^3=1$
$x^6=1$
$x^{2550}=1$
$x^{2553}=x^3$

$A=\dfrac{x(1-x^{2553})}{1-x}=\dfrac{x(1-x^{2553})}{1-x}=\dfrac{x(1-x^3)}{1-x}=\dfrac{x(1-x)(1+x+x^2)}{1-x}=x+x^2+x^3$
ในทำนองเดียวกัน $B=y+y^2+y^3$

$A+B=x+y+x^2+y^2+x^3+y^3$
$=1+x^2+y^2+(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$=(xy+x^2+y^2)+x^2-xy+y^2$
$=0+(x^2+xy+y^2)-2xy$
$=-2$

$\therefore -100(A+B)=200$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาแล้วครับ

ไปดูมาแล้ว แนวข้อสอบมี 2 ชุด แบบ word กับ แบบ PDF ทั้งสองชุดเหมือนกันอย่างเดียว คือยากพอๆกัน

เดี๋ยวนี้ข้อสอบเข้าหมอยากขนาดนี้เลยหรือครับ หมอเรียนไปแล้ว เอาไปทำประโยชน์อะไรได้ คำนวนขนาดยา ก็แค่บวกลบคูณหารธรรมดาๆก็พอมั๊ง

จะเอาไปเล่นหุ้น โบรคเก้อร์เขาก็มีโปรแกรม มีสูตรสำเร็จรูปให้ใช้อยู่แล้ว

หรือว่าเขากะว่า เลิกเป็นหมอ ยังเอาความรู้นี้มาเป็นติวเตอร์หากินได้

ได้ยินมาว่า เพื่อวัดตรรกะครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

เคยเห็นข้อสอบ กสพท ไม่กี่ปีก่อน ง่ายกว่านี้พอสมควรครับ

[-InnoXenT-]

ดูในลิงค์นี้ ข้อ 19. นะครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=17

[cfcadet]

ยากแท้ครับ แต่ก็น่าสนใจมากๆ
ขอบคุณมากครับ

[กิตติ]

กลับมาทำข้อนี้ใหม่อีกรอบ

2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$

จงหาค่าของ $-100(A+B)$

จะได้ว่า $a^2+ab+b^2=0 \rightarrow \frac{a+b}{a} =\frac{b}{a+b} $

$(\frac{-b}{a+b} )A=(\frac{a}{a+b})^{2548}-\frac{a}{a+b}$

$(-\frac{a+b}{a} )A=(\frac{a}{a+b})^{2548}-\frac{a}{a+b}$

$A=\frac{a^2}{(a+b)^2}-(\frac{a}{a+b})^{2549}$

$(\frac{-a}{a+b} )B=(\frac{b}{a+b})^{2548}-\frac{b}{a+b}$

$(-\frac{a+b}{b} )B=(\frac{b}{a+b})^{2548}-\frac{b}{a+b}$

$B=\frac{b^2}{(a+b)^2}-(\frac{b}{a+b})^{2549}$

$A+B=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2}-\left(\,(\frac{a}{a+b})^{2549}+(\frac{b}{a+b})^{2549}\right) $

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a+b}{b} )(\frac{a}{a+b})^{2548}+(\frac{a+b}{a} )(\frac{b}{a+b})^{2548}\right)$

$(\frac{a}{a+b})^{2548}=(\frac{a}{b})^{1274} $ และ $(\frac{b}{a+b})^{2548}=(\frac{b}{a})^{1274}$

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a}{b}+1 )(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a}+1 )(\frac{b}{a})^{1274}\right)$

$A+B=-1-\left(\,(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1274}\right)$

จาก $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-1 $ จะได้ว่า $(\frac{a}{b})^{2n}+(\frac{b}{a})^{2n}=-1$
และ $(\frac{a}{b})^{3n}+(\frac{b}{a})^{3n}=2$

$A+B=-2$
$-100(A+B)=200$