ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ช่วยเฉลยหน่อยครับ
1.
(1)จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1$
(2) จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2y+y^2z+z^2x-x^2z-z^2y-y^2x$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant 1$ ,$ 0 \leqslant y \leqslant 1 $,$ 0 \leqslant z \leqslant 1$

2. จงหาจำนวนเต็มบวกแรก และจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ยกกำลังสอง ลงท้ายด้วย $444$
และพิสูจน์ว่า ไม่มีกำลังสองของจำนวนใดลงท้ายด้วย $4444$

ref: มุมนักคิดที่ 46 ปัญหาที่ 136/2549 - 138/2549

ข้อสองตอนแรก ผมคิดได้แค่ว่า จำนวนแรกคือ 38 แล้วก็

ถ้า $x\equiv 100a_2+10a_1+a_0 \ \ (mod \ \ 1,000)$ เมื่อ $a_2\not= 0$ แล้ว $x^2 \equiv (a_0+10a_1)^2+200(a_0)(a_2) \ \ (mod \ \ 1,000)$
และถ้าเราแทน $a_0=8,a_1=3$ เราก็จะได้ว่า $x^2\equiv (38)^2+200(8)(a_2)\equiv 444+600(a_2) \ \ (mod \ \ 1,000)$ และถ้าเราแทน $a_2=5$ เราก็จะได้ว่าสำหรับทุก $x\in \mathbb{Z^+}$ ซึ่ง $x\equiv 100a_2+10a_1+a_0 \equiv 500+30+8 \equiv 538 \ \ (mod \ \ 1,000)$ แล้วจะได้ว่า $x^2\equiv 444 \ \ (mod \ \ 1,000)$
นั่นคือ 38 , 538 , 1,538 , 2,538 ,... ต่างก็เป็นจำนวนที่โจทย์ต้องการ

แต่ผมยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันเป็นจำนวนทั้งหมดหรือไม่ รบกวนเซียนทั้งหลายช่วยต่อด้วยครับ