Algebra Marathon

[tatari/nightmare]

ขอต่อเลยนะครับ
45.ถ้า $$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$$ ซึ่ง $p,q\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า $1979\mid p$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

43. Simplify $\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}i\binom{n}{i}9^{n-i+1}\right)}$

Mathophile's Solution

$\begin{array}{rcl}
\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}i\binom{n}{i}9^{n-i+1}\right)}&=&\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}\left(\sum_{i=1}^{n}n\binom{n-1}{i-1}9^{n-i+1}\right)}\\
&=&\displaystyle{\sum_{n=1}^{k}\left(9n\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}9^{n-i}\right)}\\
&=&\displaystyle{9\sum_{n=1}^{k}\left(n\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}9^{n-i}\cdot 1^{i-1}\right)}\\
&=&\displaystyle{9\sum_{n=1}^{k}\left(n\cdot (9+1)^{n-1}\right)}\\
&=&\displaystyle{9\sum_{n=1}^{k}\left(n\cdot 10^{n-1}\right)}\\
&=&k\cdot 10^k-\frac{10^k-1}{9}\\
&=&(k-1)\underbrace{88...8}_{k-1 ตัว}9\end{array}$

โจทย์ข้อนี้มาจากคำถามที่ว่า ต้องใช้เลขโดดศูนย์กี่ตัวในการเขียนจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง $10^6$ ครับ

[nooonuii]

ข้อ 45 เป็นโจทย์ทฤษฎีจำนวนรึเปล่าครับ

[tatari/nightmare]

ก็กึ่งๆหละครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ขอต่อเลยนะครับ
45.ถ้า $$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$$ ซึ่ง $p,q\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า $1979\mid p$

ข้อนี้เป็นโจทย์ IMO1979 ครับ เฉลยมีเยอะแยะตามหนังสือเฉลยโจทย์โอลิมปิกทั่วไป
เฉลยอันนี้ผมเอามาจากหนังสือ Problem-Solving Strategies ของ Arthur Engel ครับ

$\displaystyle{\frac{p}{q}=\sum_{k=1}^{1319}\frac{1}{k}-2\Big(\sum_{k=1}^{659}\frac{1}{2k}\Big)}$

$\displaystyle{=\sum_{k=660}^{1319}\frac{1}{k}}$

$\displaystyle{=\sum_{k=660}^{989}\Big(\frac{1}{k}+\frac{1}{1979-k}\Big)}$

$\displaystyle{=1979 \sum_{k=660}^{989}\frac{1}{k(1979-k)}}$

$=1979\dfrac{p_1}{q}$

เนื่องจาก $1979$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $(k(1979-k),1979)=1$ ทุก $k=660,...,989$
เราจึงได้ว่า $(1979,q)=1$ ดังนั้น $1979|p$

[nooonuii]

ข้อนี้ก็คิดเองครับ

46. จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $$(x-1)P(x)+1=xP(x+1)$$

[nongtum]

ขอลองตอบดูละกันนะครับ

46. ให้ $\deg P(x)=d$ จาก $0=\deg 1=\deg{\{x[\underbrace{p(x+1)-p(x)}_*]+p(x)\}}$
สำหรับพหุนามใดๆ เทอม * ย่อมมีดีกรีเป็นศูนย์ ดังนั้นผลคูณด้านหน้ามีดีกรีสูงสุดเป็นหนึ่ง
แต่เพราะัผลรวมทั้งหมดมีดีกรีเป็นศูนย์ ดังนั้น *=0 และ $p(x)$ มีดีกรีัเป็นศูนย์
สมมติให้ $p(x)=c$ แทนกลับแล้วแก้หา $c$ จะได้ $c=1=p(x)$ ###

[tatari/nightmare]

ให้$Q(x)=P(x)-1$ ต่อไปจะแสดงว่า $Q(x)=0 ,\forall x\in\mathbb{R}$ ซึ่งเราจะใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ขั้นฐาน จากสมการที่กำหนดให้มาแทน $x=0$ ได้ $(-1)P(0)+1=0$ นั่นคือ $P(0)=1$
$\therefore Q(0)=P(0)-1=1-1=0$
ขั้นอุปนัย สมมติให้ $k\in\mathbb{N}\cup {0}$ ซึ่ง $Q(k)=P(k)-1=0$ จากสมการเดิมได้
$\frac{(x-1)P(x)+1}{x}=P(x+1)$ พิจารณา $Q(k+1)=P(k+1)-1=\frac{(k-1)P(k)+1}{k}-1$
$=\frac{(k-1)P(k)+1-k}{k}=\frac{kP(k)-P(k)+1-k}{k}=\frac{(kP(k)-k)-(P(k)-1)}{k}$
$=\frac{kP(k)-k}{k}=P(k)-1=0$ $\therefore Q(k+1)=0$
นั่นคือ $0=Q(0)=Q(1)=Q(2)=....$ สรุปได้ว่า $Q(x)$ มีรากเป็นอนันต์
ซึ่งจะขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ว่า $Q(x)$ เป็นพหุนาม
$\therefore Q(x)=0 \forall x\in\mathbb{N}\cup{0}$ ซึ่งจะสามารถขยายจากเซต N ไป R ได้โดยง่าย
$\therefore P(x)-1=0 ,\forall x\in\mathbb{R}$
นั่นคือ $P(x)=1 ,\forall x\in\mathbb{R}$ #

[tatari/nightmare]

47.จงแก้สมการ $y^2(x^2-3)+xy+1=0$ และ $y^2(3x^2-6)+xy+2=0$

[nongtum]

47. สมมติให้ $xy=k$ จะได้ว่า $y^2(3x^2-6)+xy+2-2(y^2(x^2-3)+xy+1)=k^2-k=0$ ดังนั้น $k=0,1$
เมื่อ $k=0$ จะได้ $3y^2=1$ ดังนั้น $(x,y)=(0,\pm\frac{1}{\sqrt3})$
เมื่อ $k=1$ จะได้ $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=0$ ดังนั้น $(x,y)=(1,1),(-1,-1)$

[tatari/nightmare]

48.ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^3-x-1=0$ จงหาค่าของ $$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$$

[Mathophile]

48. ให้ $1+a=d,1+b=e,1+c=f$
ฉะนั้น $d,e,f$ เป็นคำตอบของสมการ $(x-1)^3-(x-1)-1=x^3-3x^2+2x-1=0$
$\begin{array}{rcl}
\therefore \frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}&=&\frac{2-d}{d}+\frac{2-e}{e}+\frac{2-f}{f}\\
&=&2(\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f})-3\\
&=&2(\frac{de+ef+fd}{def})-3\\
&=&2\cdot \frac{2}{1}-3\\
&=&1
\end{array}$

[tatari/nightmare]

กำลังติดลมครับ
49.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $\mid a\mid=\mid b\mid=\mid c\mid=\mid d\mid$ และ $a+b+c=d$ จงพิสูจน์ว่า $d=a\vee d=b\vee d=c$
50.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่เป็น0 และ$\alpha ,\beta$ เป็นรากของสมการ $x^2+ax+b=0$
ถ้า $a^2=2549b$ จงพิสูจน์ว่า $\mid\alpha+\beta\mid=\mid\alpha\mid+\mid\beta\mid$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

49.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $\mid a\mid=\mid b\mid=\mid c\mid=\mid d\mid$ และ $a+b+c=d$ จงพิสูจน์ว่า $d=a\vee d=b\vee d=c$

ถ้า $d=0$ จะได้ $a=b=c=d=0$
สมมติว่า $d\neq 0$
ให้ $x=\dfrac{a}{d},y=\dfrac{b}{d},z=\dfrac{c}{d}$ จะได้ว่า
$|x|=|y|=|z|=1$ และ $x+y+z=1$
ดังนั้น
$(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz$

$=1-1+xyz(\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}-1)$

$=xyz(\overline{x+y+z}-1)$

$=0$

เราจึงได้ว่า $x=1$ หรือ $y=1$ หรือ $z=1$
นั่นคือ $a=d$ หรือ $b=d$ หรือ $c=d$

[tatari/nightmare]

นั้นผมลงเฉลยข้อ 50.เลยละกัน จากสมการ $x^2+ax+b=0$ มีรากเป็น $$x=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$$ แต่จาก $a^2=2549b$ ฉะนั้น
$x=\frac{-a\pm \sqrt{2545b}}{2}$ นั่นคือ โดยไม่เสียนัยสมมติว่า $\alpha=\frac{-a+\sqrt{2545b}}{2}$ และ $\beta=\frac{-a-\sqrt{2545b}}{2}$ จะได้ $\alpha\beta=\frac{a^2-2545b}{4}=
\frac{2549b-2545b}{4}=\frac{4b}{4}=b>0 (\because a^2=2549b \wedge a^2>0,2549>0 \therefore b>0)$ นั่นคือ $\mid b\mid=b$ หรือ $\mid\alpha\beta\mid=\alpha\beta$ จัดรูปต่อไป
$$ \alpha^2+2\mid\alpha\beta\mid+\beta^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$$
$$\mid\alpha\mid^2+2\mid\alpha\beta\mid+\mid\beta\mid^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$$
$$(\mid\alpha\mid+\mid\beta\mid)^2=(\alpha+\beta)^2=(\mid\alpha+\beta\mid)^2$$
$$\therefore \mid\alpha\mid+\mid\beta\mid=\mid\alpha+\beta\mid$$ #