Algebra Marathon

[warut]

จริงด้วยๆ ผมต้องใช้คำว่า group isomorphism ถึงจะเหมาะสม (นั่ง diff - integrate อยู่ที่ mathcenter จนลืมอย่างอื่นหมดเลย แต่ก่อนผมเคยอยากเขียนพิสูจน์เป็นภาษาอังกฤษ เพราะรู้สึกว่าง่ายกว่า แต่ไม่ได้ทำเพราะกลัวจะโดนหาว่า ด.จ.ร. พอมาถึงวันนี้เห็นคนอื่นเขียน เลยจะเอาบ้าง ปรากฎว่าเขียนไม่ออกซะแล้ว มันหายจากหัวไปเกลี้ยงเลยครับ )

ไหนๆก็คิดมาแล้ว ขออนุญาตแปะอีกสักตัวอย่างนะครับ

ถ้าเราลองเปลี่ยนมาใช้ group $ ( \mathbb R^+, \times ) $ เราก็ต้องพยายามหา homeomorphism $ f: (0,1) \to \mathbb R^+ $ ที่มีสมบัติว่า $ f(1-x) = 1/f(x) $ ซึ่งผมเจออันนึงคือ $ f(x) = x/(1-x) $ ดังนั้นคราวนี้เราจะได้ $$ x*y = f^{-1} (f(x)f(y)) = \frac{xy}{ 1+2xy-x-y } $$ เป็นสูตรที่น่าดูขึ้นหน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
แต่ก่อนผมเคยอยากเขียนพิสูจน์เป็นภาษาอังกฤษ เพราะรู้สึกว่าง่ายกว่า แต่ไม่ได้ทำเพราะกลัวจะโดนหาว่า ด.จ.ร. พอมาถึงวันนี้เห็นคนอื่นเขียน เลยจะเอาบ้าง ปรากฎว่าเขียนไม่ออกซะแล้ว มันหายจากหัวไปเกลี้ยงเลยครับ )

ผมมองว่าคณิตศาสตร์เป็นภาษาสากลที่ทุกคนอ่านเข้าใจครับ ดังนั้นไม่ว่าจะใช้ภาษาอะไรในการสื่อสารเราก็เข้าใจกันได้ อีกอย่างผมคิดว่าการเขียนเป็นภาษาอังกฤษจะช่วยฝึกให้เราพัฒนาความสามารถทางด้านภาษาได้อีกทางนึง อาจจะมีปัญหาสำหรับน้องๆที่ยังเรียนมัธยมอยู่บ้าง ก็ขอให้ถือว่าเป็นการเรียนภาษาไปในตัวละกันครับ จริงๆภาษาอังกฤษที่ใช้ในคณิตศาสตร์ก็มีไม่กี่คำหรอกครับ เพราะเราไม่ต้องเขียนเชิงพรรณาเยอะเหมือนกับวิชาอื่น ส่วนใหญ่มันเป็นเรื่องของสัญลักษณ์ซะมากกว่าครับ

[warut]

ช่ายเลย... เห็นด้วยกับคุณ nooonuii ทุกประการครับ

คิดๆดูแล้ว ที่ผมใช้คำว่า "homeomorphism" ดูจะเว่อร์ไปหน่อยนะ จริงๆใช้แค่ "bijection" ก็น่าจะพอแล้วล่ะ

[nooonuii]

ใช่ครับ homeomorphism ใช้สำหรับโครงสร้างเชิง Topology ของเซตครับ ซึ่งสำหรับปัญหานี้แค่ bijection ที่สอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $f(1-x)=f(x)^{-1}$ ก็เพียงพอแล้ว
ขอต่อข้อต่อไปนะครับ จริงๆอยากให้คุณ Warut เอาโจทย์มาให้ลองทำดูบ้างครับ แต่ผมขอแซงคิวก่อนละกัน

14. ให้ G เป็น group ซึ่งมีคุณสมบัติว่า

$\displaystyle{ (ab)^{2005}=a^{2005}b^{2005},}$
$\displaystyle{ (ab)^{2006}=a^{2006}b^{2006},}$
$\displaystyle{ (ab)^{2007}=a^{2007}b^{2007} }$

ทุก $a,b\in G$
จงพิสูจน์ว่า G เป็น abelian group

[nooonuii]

เผื่อว่าคนที่ไม่มีความรู้ Group Theory อยากจะเล่นด้วยผมขอแปลโจทย์ข้อ 14 ให้เป็นภาษาของ matrix ละกันครับ

(14*) ให้ $A, B$ เป็น invertible matrices ขนาด $n\times n$ โดยที่
$(AB)^{2005} = A^{2005}B^{2005}$
$(AB)^{2006} = A^{2006}B^{2006}$
$(AB)^{2007} = A^{2007}B^{2007}$

จงพิสูจน์ว่า $AB = BA$

[Punk]

#14. Using $(ab)^N=a^Nb^N$ and $(ab)^{N+1}=a^{N+1}b^{N+1}$, we get
\[
(ab)a^Nb^N=a^{N+1}b^{N+1}\Longrightarrow ba^N=a^Nb.
\]
Then we get $a^Nb^N=a^Nb\cdots b=ba^Nb\cdots b=\ldots=b^Na^N$, hence $(ab)^N=(ba)^N$. This is true for $N=2005,2006$, so $ab=ba$.

[warut]

โจทย์แบบนี้เคยเล่นกันไปทีนึงแล้วครับ ตั้งแต่สมัยยุคบุกเบิกโน่นแน่ะ แต่เอามาเล่นอีกก็ดี เพราะสมาชิกส่วนใหญ่ที่นี่คงยังไม่เคยเห็น และผมยังมีปัญหาที่เกี่ยวกับเรื่องนี้โดยตรง คือในแบบฝึกหัด I.1.11 ในหน้า 30 ของหนังสือ Algebra ของ Hungerford กล่าวว่า

[Prove that] The following conditions on a group $G$ are equivalent:

(i) $G$ is abelian;
(ii) $(ab)^2 = a^2b^2 $ for all $ a,b \in G $;
(iii) $ (ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1} $ for all $ a,b \in G $;
(iv) $ (ab)^n = a^n b^n $ for all $ n \in \mathbb Z $ and all $ a,b \in G $;
(v) $ (ab)^n = a^n b^n $ for three consecutive integers $n$ and all $ a,b \in G $.

Show that (v) $\Rightarrow$ (i) is false if "three" is replaced by "two."

ตรงประโยคสุดท้ายนี่แหละครับที่ผมทำไม่ได้ ไม่รู้จะหา counterexample ยังไง ใครทราบวิธีทำช่วยแนะด้วยนะครับ

[Punk]

It is easy to show that the condition
(i) $(ab)^n=a^nb^n$ for all $a,b\in G$, for consecutive integers $n=N,N+1$
is equivalent to that
(ii) $(ab)^N=a^Nb^N$ and $ab^N=b^Na$ for all $a,b\in G$.

If $G$ is a non-abelian finite group of order $N$, then $x^N=e$ (the identity) for all $x\in G$, hence (ii) is true for all $a,b\in G$.

[warut]

อ๋อ... เข้าใจแล้วครับ ใช้มุขนี้นี่เอง:

สำหรับ $G$ ที่เป็น non-abelian finite group of order $n$ เราจะได้ว่า $ (ab)^n = a^n b^n $ และ $ (ab)^{n+1} = a^{n+1} b^{n+1} $ for all $ a,b \in G $

ขอบคุณมากครับ

Edit: มาคิดดูอีกที เล่นแบบนี้ไปเลยก็ได้นี่นา:

สำหรับทุก group $G$ เราจะได้ว่า $ (ab)^0 = a^0 b^0 $ และ $ (ab)^1 = a^1 b^1 $ for all $ a,b \in G $

แบบนี้คงไม่น่าเกลียดเกินไปนะครับ

[Punk]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
เพื่อไม่ให้กระทู้เงียบขอมาปล่อยระเบิดอีกลูกดีกว่าครับ(ยากหน่อยนะครับข้อนี้)

9. จงหาพหุนาม $f(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้มีพหุนาม $p(t)$ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ $f(x^2)=p(f(x))$

ส่วนข้อแปดไม่มีอะไรเสริมครับ เพราะทำแบบเดียวกัน

#9. Constant polynomials satisfy the desired identity with $p=f$.
Suppose $\deg f=n>0$. Since $\deg f(x^2)=2n$, the polynomial $p(x)$ must have degree 2. Let $p(x)=a(x+b)^2+c$ where $a\neq0$. So $f(x^2)=a(f(x)+b)^2+c$. Setting $g(x)=a[f(x)+b]$, then $g$ satisfies the equation
\[
g(x^2)=g(x)^2+d,\qquad d=(b+c)a.
\]
We claim that $g$ must be of the form $g(x)=x^n$. If $g(x)=a_nx^n+a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0$ for some $m<n$ and $a_m\neq0$, then we would have, by comparing the coeffcients of $x^{n+m}$ of both sides of the equation above,
\[
0=2a_na_m,\Longrightarrow a_m=0.
\]
This is a contradiction, so $g(x)=a_nx^n$. It is easy to see that $a_n=1$, which proves the claim. We conclude that $d=0$, that is $b+c=0$. Thus
\[
f(x)=\frac{1}{a}x^n-b\qquad\text{and}\,\,p(x)=a(x+b)^2-b.
\]

[nongtum]

สุดยอดครับ ลำดับการคิดต่างจากเฉลยที่ผมมีนิดหน่อย แต่รวมๆก็ไอเดียเดียวกัน
จะมีเรื่องอะไรบ้างที่คุณ punk จะทำไม่ได้บ้างเนี่ย...

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ยากจริงๆครับ ผมคิดได้แค่ว่า P(x) ต้องเป็นพหุนามกำลังสองเอง
การกำหนด $P(x) = a(x+b)^2+c$ เป็นเทคนิคที่เหนือความคาดหมายมากครับ คิดได้ยังไง

[nooonuii]

ขอวางระเบิดอีกลูกก่อนไปอ่านหนังสือเตรียมสอบครับ

15. ให้ $G$ เป็น group ที่มีขนาด 5098 จงพิสูจน์ว่า $G^2 = \{ g^2 : g\in G \}$ เป็น normal subgroup ของ G

[warut]

มาจัดการ (เหยียบ?) ระเบิดของคุณ nooonuii ดีก่า

ให้ $e$ แทน identity ของ $G$

จะเห็นว่า $G^2$ เป็น subgroup ของ $G$

จากที่ $ |G|= 5098 = 2 \cdot 2549 $ แสดงว่าขนาดของ $G^2$ ที่เป็นไปได้คือ $ 1, 2, 2549, 5098 $

$ |G^2|=1 \quad \Rightarrow \quad G^2= \{ e \} \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup

$ |G^2|=5098 \quad \Rightarrow \quad G^2= G \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup

$ |G^2|=2549 \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น subgroup of index $ 2 \quad \Rightarrow \quad G^2 $ เป็น normal subgroup

ถ้า $ |G^2| =2 $ ให้ $ G^2 = \{ e, b \} $ ดังนั้น $ b^2=e $

เราจะพิสูจน์ว่า $G^2$ เป็น normal subgroup โดยแสดงว่า $ aba^{-1} \in G^2 $ สำหรับทุก $ a \in G $

กรณีที่ 1: $a^2=b$

$ aba^{-1} = aa^2a^{-1} = a^2 \in G^2 $

กรณีที่ 2: $a^2=e$

$ aba^{-1} = aba = abae = ababb = (ab)^2b \in G^2 $

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
จะเห็นว่า $G^2$ เป็น subgroup ของ $G$

ผมว่าส่วนสำคัญที่สุดในการพิสูจน์ก็คือการพิสูจน์ว่า $G^2$ เป็น subgroup ของ $G$ นี่แหละครับ
โดยทั่วไปแล้ว $G^2$ ไม่จำเป็นต้องเป็น subgroup ของ G ครับ เพราะ group ไม่จำเป็นต้อง abelian ยกตัวอย่างเช่น $A_4^2$ ไม่เป็น subgroup ของ $A_4$ ครับ เพราะมีสมาชิก 9 ตัว $(A_4=$ Alternating group of 4 letters)