Algebra Marathon

[warut]

อะจ๊าก เหยียบระเบิดเข้าไปเต็มๆ... มั่วไปไม่ได้รู้เลยว่าตัวปัญหาจริงๆอยู่ที่ไหน เอ.. ดูท่าทางข้อนี้จะยากแฮะ ไม่รู้ว่าจะต้องถึงขั้นใช้อาวุธหนักอย่าง Sylow Theorems รึเปล่า มีโอกาสจะลองคิดต่อครับ แต่ไม่รู้จะเกินความสามารถผมไหมนะ

[nooonuii]

ข้อนี้เป็นข้อสอบ Qualify วิชา Algebra ของมหาลัยผมเองครับ

[warut]

น่าน.. เผลอเล่นของสูงเข้าให้แล้วสิเรา

ถ้าโจทย์ข้อนี้ยอมให้ใช้ความจริงที่ว่า group ขนาด $2p$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ มีเพียง 2 ชนิดเท่านั้นคือ cyclic group กับ dihedral group ข้อนี้ก็จะทำต่อได้ง่ายๆ เอ...หรือว่าต้องเริ่มพิสูจน์ให้ดูจาก Sylow Theorems หรือว่าอาจจะมีสมบัติพิเศษของ $G^2$ เมื่อ $G$ เป็น group ใดๆ ที่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[nooonuii]

Hint : Show that $G^2$ is a Sylow 2549-subgroup of $G$.

[nooonuii]

เห็นคุณ Warut เงียบหายไปคิดว่าคงไปแอบคิดข้อ 15 อยู่ ผมเลยเอาอีกข้อมาให้คนอื่นช่วยเล่นด้วยครับ

16. กำหนดให้ $a+b+c=1$ และ $a^2+b^2+c^2=2$ จงหาค่าสูงสุดของ $$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)$$

[warut]

สำหรับข้อ 15. ทำยังไงผมก็ไม่สามารถคิดวิธีพิสูจน์ที่ไม่ไปในแนวที่นำไปสู่การพิสูจน์ว่า group of order 5098 ต้อง isomorphic กับ $ \mathbb Z_{5098} $ หรือไม่ก็ $ D_{2549} $ ได้อะครับ

ถ้าให้ผมทำ เอาแบบคร่าวๆก็คงประมาณนี้ครับ

โดย Third Sylow Theorem $G$ จะมี unique Sylow 2549-subgroup สมมติให้เรียกว่า $ H= \; < a > $ ดังนั้น $H$ เป็น normal subgroup

เนื่องจาก $G$ เป็น group of even order ดังนั้นจึงมี $b \in G$ ที่มี order 2

เนื่องจาก $b \notin H$ ดังนั้น $H$ และ $Hb$ เป็น distinct cosets เราจึงได้ว่า $$ G= H \cup Hb = \{ e, a, \dots , a^{2548} , b, ab, \dots , a^{2548}b \} $$

โดย Third Sylow Theorem $G$ จะมีจำนวน Sylow 2-subgroup ที่เป็นไปได้คือ 1 กับ 2549

กรณีที่ 1: ถ้ามี unique Sylow 2-subgroup มันก็จะต้องเป็น $ < b > $ ซึ่งก็ต้องเป็น normal subgroup เราจึงได้ว่า $ a^n b a^{-n} = b $ ดังนั้น $ (a^nb)^2 = (a^nb) (ba^n) = a^{2n} \in H $ แสดงว่า $G^2=H$ จึงเป็น normal subgroup

กรณีที่ 2: ถ้ามี 2549 Sylow 2-subgroups เราจะได้ว่า subgroups เหล่านั้นคือ $ < b >, < ab >, \dots , < a^{2548}b > $ ดังนั้นในกรณีนี้ เราก็จะได้ว่า $G^2=H$ เช่นกัน

ยังไงคุณ nooonuii หรือใครก็ได้ช่วยชี้แนะให้ด้วยครับ

[nooonuii]

15. My Solution :

Let $e$ be the identity element of $G.$
Since $|G|=2\cdot 2549$, $G$ has a Sylow 2549-subgroup, say $P$. Since $P$ has index $2$ in $G$, it is normal in $G.$ Thus $P$ is the unique Sylow 2549-subgroup of $G.$ We will show that $G^2 = P$.

Let $x\in G^2.$ Then $x = y^2$ for some $y\in G.$ Thus $x^{2549}=y^{5098}=e$, so $x=e$ or $x$ has order $2549.$ If $x=e$, then $x\in P$. If $x$ has order $2549$, then $<x>$ is a Sylow 2549-subgroup of $G.$ Thus $<x>=P$ and hence $x\in P$. This shows that $G^2\subseteq P.$

Let $x\in P.$ Then $x = x^{2550} = (x^{1275})^2 \in G^2.$ Thus $P\subseteq G^2.$

Therefore, $G^2 = P$, as desired.

[warut]

เป็นการพิสูจน์ที่สั้น ง่าย และสวยงามมากครับ ผมได้เรียนรู้อะไรอีกเยอะเลยจากโจทย์ข้อนี้ ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อ 15 ผม generalize ได้แบบนี้ครับ

Let $G$ be a group of order $pq$ where $p,q$ are primes and $p< q$. Then $G^p=\{ g^p : g\in G\}$ is a normal subgroup of $G$.

[nooonuii]

17. จงพิสูจน์ว่า $\sqrt[4]{e^4+e^{-4}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

[Timestopper_STG]

16.ผมหาค่าของพจน์นั้นออกมาได้เป็นค่าเดียวตลอดคือ6...ค่าคงที่ได้ไงอะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
16. กำหนดให้ $a+b+c=1$ และ $a^2+b^2+c^2=2$ จงหาค่าสูงสุดของ $$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)$$

จากการสังเกตว่า expressions ทุกอันทั้งในคำถามและใน condition ล้วนเป็น symmetric polynomials ทั้งสิ้น ผมเลยเริ่มโดยเขียนทุกอย่างในรูปของ elementary symmetric polynomials in 3 variables โดยให้ $$ \begin{array}{rcl} x & = & a+b+c \\ y & = & ab+bc+ca \\ z & = & abc \end{array} $$ เมื่อคูณกระจายออกมา เราพบว่า $$ (1+a)(1+b)(1+c) = x+y+z+1 $$ และ $$ (a+b)(b+c)(c+a) = xy-z $$ ดังนั้น $$(1+a)(1+b)(1+c) + (a+b)(b+c)(c+a) $$ $$= xy+x+y+1 = (x+1)(y+1) $$ จาก condition ที่ให้มา เราจะได้ $x=1$ และ $$2 = a^2+b^2+c^2 = x^2-2y = 1-2y $$ นั่นคือ $ y= - \frac12 $

ดังนั้นค่าของ $ (x+1)(y+1) $ จึงเป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $ (1+1) (- \frac12 +1) =1 $ ซึ่งค่านี้ก็จะต้องเป็นค่าสูงสุดด้วยครับ

ไม่รู้ข้อนี้ผมทำอ้อมโลกอีกหรือเปล่านะ

[nooonuii]

16. เหมือนกับที่ผมคิดไว้ทุกประการครับ แต่ผมลักไก่โดยการจำเอกลักษณ์
$$(1+a)(1+b)(1+c) + (a+b)(b+c)(c+a) = (1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$$
ไว้แล้วเลยคิดได้สั้นกว่าครับ ผมไม่แน่ใจว่ามีคนคิดเอกลักษณ์นี้ไว้รึยัง แต่ผมคิดมันได้โดยบังเอิญเมื่อตอนเล่นโจทย์พวกเอกลักษณ์พหุนาม เลยเอามาถามดูครับ จริงๆแล้วผมเอาไปเล่นในกระทู้ Inequality Marathon มาแล้วรอบนึงด้วย

[warut]

เอกลักษณ์ในข้อ 16. ที่คุณ nooonuii คิดได้ (ซึ่งใช้ในโจทย์ ข้อ 6. ของ Inequality marathon ด้วย) สวยดีครับ ผมไม่เคยเห็นมาก่อน ไม่แน่ใจว่ามันเป็น special case ของ polynomial identity อะไรซักอันรึเปล่า

สำหรับ generalization ของข้อ 15. ผมได้ลองทำดูแล้วครับ ถ้าใครมีโจทย์ Sylow สวยๆอย่างนี้อีก ช่วยแปะด้วยครับ กำลังเห่อ

ข้อ 17. ถ้าให้ใช้ความจริงที่ว่า $e$ เป็น transcendental number ก็แทบจะไม่ต้องทำอะไร หรือไม่ก็น่าจะพิสูจน์ได้จาก power series ของ $\cosh4$ เดาไม่ถูกครับว่าคุณ nooonuii อยากให้ใช้ความรู้เรื่องอะไร

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
สำหรับ generalization ของข้อ 15. ผมได้ลองทำดูแล้วครับ ถ้าใครมีโจทย์ Sylow สวยๆอย่างนี้อีก ช่วยแปะด้วยครับ กำลังเห่อ

ถ้าคุณ Warut อยากได้จริงๆ ผมสามารถเอามาแปะให้คุณ Warut ลองทำเล่นๆได้เรื่อยๆเลยแหละครับ ช่วงที่ผมเตรียมตัวสอบ Qualify วิชา Algebra ผมทำโจทย์ไปหลายร้อยข้อทีเดียว ตอนนี้ผมจดคำตอบไว้หมดแล้วเดี๋ยวจะทยอยเอามาแปะไว้ให้ครับ ว่าแต่ว่าคุณ Warut อยากได้โจทย์เกี่ยวกับเรื่องอื่นด้วยรึปล่าวครับ ข้อสอบ Algebra ที่นี่มี 6 วิชาในการสอบครั้งเดียวครับ เพราะฉะนั้นจะมีความหลากหลายมาก ผมก็ไม่แน่ใจว่ามีโจทย์เกี่ยวกับ Sylow Theorem ซักกี่ข้อ โดยทั่วไปจะออก Group Theory มาหนึ่งข้อในการสอบแต่ละครั้งครับ

ข้อความเดิมของคุณ warut:

ข้อ 17. ถ้าให้ใช้ความจริงที่ว่า $e$ เป็น transcendental number ก็แทบจะไม่ต้องทำอะไร หรือไม่ก็น่าจะพิสูจน์ได้จาก power series ของ $\cosh4$ เดาไม่ถูกครับว่าคุณ nooonuii อยากให้ใช้ความรู้เรื่องอะไร

จริงๆผมก็แค่อยากให้ใช้ transcendency ของ e แค่นี้แหละครับ